Кінцева схема різниці для "хвильового рівняння", метод характеристик

Розглянемо наступну проблему де термін вимушення може залежати від (див. Редагування 1 нижче для рецептури) та та його перші похідні. Це розмірне хвильове рівняння 1 + 1. У нас є початкові дані, прописані на .

W_{u v} = F

$W_{uv} = F$

u, v

$u,v$

W

$W$

{u + v = 0}

$\{u+v = 0\}$

Мене цікавить рішення всередині області залежності інтервалу і я розглядаю наступну схему кінцевих різниць.

{u + v = 0, u \in [- u_{M}, u_{M}]}

$\{ u+v = 0, u \in [- u_M,u_M]\}$

Мета полягає в тому, щоб розвинути по і аналогічно . Ця схема є інтегральною в тому сенсі, що $W_u$ $W_u(u,v+1) - W_u(u,v) = F(u,v)$ $W_v(u+1,v) - W_v(u,v) = F(u,v)$ $W (u, v) + W_{u} (u, v) + W_{v} (u + 1, v) = W (u + 1, v + 1) = W (u, v) + W_{v} (u, v) + W_{u} (u, v + 1)$ $W(u,v) + W_u(u,v) + W_v(u+1,v) = W(u+1,v+1) = W(u,v) + W_v(u,v) + W_u(u,v+1)$ тому я можу послідовно обчислювати від початкових даних, інтегруючи вгору; отже, мені справді потрібно лише подивитися рівняння еволюції для і . $W$ $W_v$ $W_u$
Для вихідних даних нам потрібна умова сумісності . Що говорить про те, що я можу обчислити початкові дані, використовуючи пряму (в ) кінцеву різницю на початковий час зі значеннями заданого $W_u(u,v) - W_v(u+1,v-1) = W(u+1,v-1) - W(u,v)$ $u$ $W$ $W_t$ у півцілих точках . $(u+0.5,v-0.5)$

Питання :

Це добре відома схема? Зокрема, де можна знайти аналіз цієї схеми?
Будь-яка очевидна річ, на яку я повинен звернути увагу?

Передумови : Прикидаюся, що я знаю майже нічого (що, мабуть, правда, оскільки я чистий математик, який намагається трохи навчитися обчислювальній техніці).

Редагуйте 1 : Просто для уточнення (для вирішення деяких коментарів): рівняння в координатах буде а і є "невідмінними координатами", заданими (до деяких коефіцієнтів перенормування 2) і . Тож початкові дані при насправді знаходяться на . $x$ $t$

W_{t t} - W_{x x} = F

$W_{tt} - W_{xx} = F$

u

$u$

v

$v$

u = t + x

$u = t+x$

v = t - x

$v = t-x$

{u + v = 0}

$\{u+v = 0\}$

{t = 0}

$\{t = 0\}$

Отже, замість сітки, адаптованої до я вважаю сітку, адаптовану до яка "обернена на 45 градусів". Порівняно з де приймають цілі значення, можна вважати mesh є додатковими точками, де обидва (але не лише один з) і приймають півцілі значення. $(t,x)$ $(u,v)$ $(t,x)$ $t,x$ $u,v$ $t$ $x$

finite-difference reference-request hyperbolic-pde

— Віллі Вонг
джерело

Я трохи збентежений вашими підписками, але це здається мені якоюсь формулою з обмеженою різницею часової області . . . можливо, з поетапною формулою сітки (напівіндекси?).

— meawoppl

u, v

$u,v$

x, t

$x,t$

u, v

$u,v$

45^{\circ}

$45^\circ$

x, t

$x,t$

Я відредагував, щоб уточнити (пояснення Вольфганга Бангерта - це те, що я мав на увазі).

— Віллі Вонг

Відповіді:

Напевно є література про подібні схеми. Два ключові слова є

Модифікований метод характеристик
Напівлагрангіальні схеми

Після 20 хвилин гуглінгу: деякі, можливо, важливі документи є http://dx.doi.org/10.1137/0719063 та http://dx.doi.org/10.1137/0728024 (шукайте звідти вперед). Вони, мабуть, не найкращі посилання на них, але вони повинні стати відправною точкою для того, щоб ви знайшли потрібну літературу.

W_{t t} - W_{x x} = F

$W_{tt}-W_{xx} = F$

u = t + x, v = t - x .

$u = t+x, \ \ \ \ v = t-x.$ , обидва з яких є першочерговими.

$F=0$ $F$ $F=0$ $F$ $F$ має будь-які суто уявні власні значення, схема буде нестабільною.

Загальний дискретизаційний підхід зведення PDE до системи ODE (як у вашому методі) відомий як метод рядків. Як і будь-який метод дискретизації рядків, ви можете збільшити порядок точності, використовуючи вирішувач ODE вищого порядку, і ви могли б покращити стабільність, використовуючи відповідний неявний вирішувач ODE (із супроводжуючим збільшенням обчислювальної вартості за крок).

— Девід Кетчесон
джерело

"але Google допоможе вам більше" Насправді це одна з великих проблем. Я не точно знаю, для чого Google (я підозрюю, що чисельна література може використовувати деякі різні терміни від чистої літератури). Якщо ви можете запропонувати кілька ключових слів, які я повинен шукати, я буду вдячний. ("Метод рядків", наприклад, вказує мені на справжнє багатство інформації [можливо, навіть трохи для мене, щоб я міг фільтрувати через :-)].)

— Віллі Вонг,

@WillieWong - Одне посилання на гіперболічні рівняння, які ми зазвичай цитуємо, - це методи кінцевого обсягу ЛеВека для гіперболічних проблем . Я не впевнений, чи це правильне посилання для початку, але це, принаймні, дасть вам ознайомлення з умовами та технікою в цій галузі.

— Арон Ахмадія

Гаразд, я додав кілька ключових слів та посилань. Сподіваюся, вони допоможуть.

— Девід Кетчесон

Велике спасибі за довідки! Це мене добре почало.

— Віллі Вонг

Починаючи з того, звідки мене залишив Девід Кетчесон у своїй відповіді, трохи більше пошуку виявило деякі історичні записки.

Схему, яку я окреслив вище, було розглянуто ще в 1900 р. Дж. Массау у " Mémoire sur l'intégration graphique des équations aux dérivées partielles" . Твір перевидано в 1952 р. Г. Дельпорт, Монс.

Перший (хоч і стислий) сучасний аналіз його конвергенції і такий був даний Курантом, Фрідріхом і Льюї у їхній класичній статті з математики 1928 року. Енн.

— Віллі Вонг
джерело

Нічого собі, я не можу повірити, що я не зрозумів, що це було в документі CFL ...

— Девід Кетчесон,