Швидка та точна реалізація подвійної точності неповної гамма-функції

10

Який сучасний спосіб здійснення спеціальних функцій подвійної точності? Мені потрібен такий інтеграл: для і , які можна записати через нижню неповну гамма-функцію. Ось моя реалізація Fortran та C:

F_{m} (t) = \int_{0}^{1} u^{2 m} e^{- t u^{2}} d u = \frac{γ (m + \frac{1}{2}, t)}{2 t^{m + \frac{1}{2}}}

$F_m(t) = \int_0^1 u^{2m} e^{-tu^2} d u = {\gamma(m+{1\over 2}, t)\over 2 t^{m+{1\over 2}}}$

m = 0, 1, 2, . . .

$m=0, 1, 2, ...$

t > 0

$t>0$

https://gist.github.com/3764427

який використовує розширення серій, підсумовує умови до заданої точності, а потім використовує рекурсійні відношення для ефективного отримання значень для нижчих . Я перевірив це добре і отримую точність 1e-15 для всіх значень параметрів, які мені потрібні, детальну інформацію див. У коментарях версії Fortran. $m$

Чи є кращий спосіб її реалізації? Ось реалізація гамма-функції в gfortran:

https://github.com/mirrors/gcc/blob/master/libgfortran/intrinsics/c99_functions.c#L1781

він використовує раціональне наближення функції замість того, щоб підсумовувати нескінченний ряд, який я роблю. Я думаю, що це кращий підхід, тому що слід отримати єдину точність. Чи є якийсь канонічний спосіб наблизитись до цих речей, чи потрібно розробити спеціальний алгоритм для кожної спеціальної функції?

Оновлення 1 :

На основі коментарів, ось реалізація за допомогою SLATEC:

https://gist.github.com/3767621

він відтворює значення з моєї власної функції, приблизно на рівні точності 1e-15. Однак я помітив проблему, що для t = 1e-6 і m = 50 термін отримує рівний 1e-303, а для більш високого "m" він просто починає давати неправильні відповіді. Моя функція не має цієї проблеми, тому що я використовую відносини розширення / повторення серії безпосередньо для . Ось приклад правильного значення: $t^{m+{1\over2}}$ $F_m$

$F_{100}$ (1e-6)=4.97511945200351715E-003 ,

але я не можу отримати це за допомогою SLATEC, оскільки знаменник вибухає. Як бачите, фактичне значення є приємним і малим. $F_m$

Оновлення 2 :

Щоб уникнути вищезазначеної проблеми, можна скористатися функцією dgamit(неповна Гамма-функція Tricomi), F(m, t) = dgamit(m+0.5_dp, t) * gamma(m+0.5_dp) / 2тому більше немає з , але, на жаль, вибухає на . Це, однак, може бути досить високим для моїх цілей. $t$ gamma(m+0.5_dp) $m\approx 172$ $m$

efficiency accuracy special-functions

— Ондржей Чертік
джерело

2

Навіщо кодувати власну функцію? GSL, cephes і SLATEC всі реалізують це.

— Джефф Оксберрі

Я оновив питання, чому я не використовую SLATEC.

— Ondřej Čertík

@ OndřejČertík Ви, очевидно, виявили помилку! Отримали ваше запитання!

— Алі

Алі --- це не помилка в SLATEC, а в тому, що мені насправді потрібно розділити на , щоб отримати значення для . Тож числовий метод, який працює для може не працювати так добре для .

γ (z, x)

$\gamma(z, x)$

t^{m + \frac{1}{2}}

$t^{m+{1\over2}}$

F_{m} (t)

$F_m(t)$

γ (z, x)

$\gamma(z, x)$

F_{m} (t)

$F_m(t)$

— Ondřej Čertík

@ OndřejČertík Добре, вибачте, моя помилка, я не перевірив ваш код, перш ніж робити коментар.

— Алі

9

Інтеграл, про який йде мова, також відомий як функція Хлопчики, після британського хіміка Семюеля Френсіса Бойза, який ввів його використання на початку 1950-х. Кілька років тому мені потрібно було обчислити цю функцію в подвійній точності, якомога швидше, але точно. Мені вдалося досягти відносної помилки на порядку по всьому вхідному домену. $10^{-15}$

Як правило, вигідно використовувати різні наближення для аргументів малого та великого розміру, де оптимальне переключення між "великим" та "малим" найкраще визначається експериментальним шляхом і, як правило, є функцією . Для свого коду я визначив "малі" аргументи як ті, що задовольняють умові . $m$ $a \le m + 1{1\over 2}$

Для великих аргументів я обчислюю

Ж_{м} (а) = \frac{1}{2} γ (м + \frac{1}{2}, а) \times p \times p, p = а^{- \frac{1}{2} (м + \frac{1}{2})}

$\mathrm{F}_m(a) = {1\over 2}\gamma\left(m + {1\over 2}, a\right) \times p \times p, \space \space p = a^{-{1\over 2}\left(m+ {1\over 2}\right)}$

Цей порядок операцій дозволяє уникнути передчасного переливу. Оскільки нам потрібна лише нижня неповна гамма-функція півзалікових порядків, а не повністю загальна нижча неповна гамма-функція, з точки зору продуктивності вигідно обчислити

γ (м + \frac{1}{2}, а) = Γ (м + \frac{1}{2}) - Γ (м + \frac{1}{2}, а)

$\gamma \left(m + {1\over 2}, a\right) = \Gamma \left(m + {1\over 2}\right) - \Gamma\left(m + {1\over 2}, a\right)$

використовуючи табличні значення та обчислюючи відповідно до цієї відповіді , обережно уникаючи проблеми віднімання віднімання шляхом використання злитої операції множення-додавання. Потенційна подальша оптимізація полягає в тому, щоб спостерігати, що для досить великого , в межах задана точність з плаваючою комою. $\Gamma \left(m + {1\over 2}\right)$ $\Gamma\left(m + {1\over 2}, a\right)$ $a$ $\gamma \left(m + {1\over 2}, a\right) = \Gamma \left(m + {1\over 2}\right)$

Для невеликих аргументів я почав з розширення серії для нижньої неповної функції гами від

А. Ерделій, У. Магнус, Ф. Оберхеттінгер, Ф. Г. Трикомі, "Вищі трансцендентальні функції, т. 2". Нью-Йорк, Нью-Йорк: McGraw-Hill 1953

і змінив його для обчислення функції Boys наступним чином (обрізання рядів, коли термін достатньо малий для заданої точності): $\mathrm{F}_{m}(a)$

F_{m} (a) = \frac{1}{2} \frac{1}{m + \frac{1}{2}} \exp (- a) (1 + \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{a^{n}}{(1 + m + \frac{1}{2}) \times . . . \times (n + m + \frac{1}{2})})

$\mathrm{F}_{m}(a) = {1\over 2}\frac{1}{m + {1\over 2}}\exp(-a)\left(1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a^{n}}{(1 + m + {1\over 2}) \times\space ...\space \times (n + m + {1\over 2})}\right)$

Існують також цікаві та потенційно важливі спеціальні випадки для низьких порядків функції хлопчиків, зокрема . По-перше, у нас є , де - функція помилок, надана у Fortran 2008 як елементарна функція, а в C / C ++ як стандартна функція бібліотеки та . $m = 0, 1, 2, 3$ $\mathrm{F}_{0}(a) = \sqrt{\frac{\pi}{4a}}\mathrm{erf}\left(\sqrt{a}\right)$ $\mathrm{erf}$ ERFerferff

Для швидких обчислень, коли , я використовую спеціальні поліноміальні наближення minimax для малих аргументів, скажімо, та рекурсію вперед , для великих , де проблеми з відніманням відміни в останньому пом'якшуються за допомогою використання злитих операцій множення додавання. $m = 1, 2, 3$ $a \lt {2{1\over 2}}$ $\mathrm{F}_{m}(a) = \frac{1}{2a}\left(\left(2m-1\right)\mathrm{F}_{m-1}(a) - \exp(-a)\right)$

Якщо значення функції повинні бути обчислені для даного через кілька замовлень , один хотів би, щоб обчислити значення функції для найвищого значення безпосередньо, тобто , як описано вище, а потім використовувати чисельно стабільною зворотного рекурсії для обчислення всі інші значення функції. $a$ $m$ $m$ $\mathrm{F}_{m-1} = \frac{1}{2m-1} \left(2a \space \mathrm{F}_{m}(a) + \exp\left(-a\right)\right)$

— нуффа
джерело

Дякую @njuffa за чудову відповідь. Якщо ви робите свій код для цього відкритого коду, я думаю, це було б дуже корисно для багатьох людей.

— Ondřej Čertík

1

В даний час реалізація описаного алгоритму CUDA доступна для безкоштовного завантаження з веб-сайту розробників NVIDIA (потрібна безкоштовна реєстрація як розробник CUDA, затвердження зазвичай протягом одного робочого дня). Код під ліцензією BSD, який повинен бути сумісним практично з будь-яким проектом.

— njuffa

5

Ви можете поглянути на Числові методи спеціальних функцій Ампаро Гіл, Хав'єра Сегура та Ніко М. Темме.

— Джон Д. Кук
джерело

Це чудова книга, дякую за пораду!

— Ondřej Čertík

4

Я б подивився на книгу Абрамовича та Стегуна, або на нову редакцію, яку NIST опублікував пару років тому і доступна в Інтернеті, я вважаю. Вони також обговорюють способи стабільного втілення речей.

— Вольфганг Бангерт
джерело

Я використовував це: dlmf.nist.gov/8 при його реалізації, але це, мабуть, інший ресурс. У розділі 5 числових рецептів також є цікава інформація, але стосується лише функцій однієї змінної.

— Ondřej Čertík

Я не думаю, що ви знайдете щось набагато пізніше, ніж їх посилання 2001 року; SLATEC буде старший за це.

— Джефф Оксберрі

1

Це здається не найсучаснішим, але SLATEC в Netlib пропонує "1400 математичних та статистичних процедур загального призначення". Неповна Гамма доступна в рамках спеціальних функцій тут .

Реалізація таких функцій займає багато часу і схильна до помилок, тому я б не робив цього сам, якщо це абсолютно не потрібно. SLATEC існує вже досить давно і широко використовується, принаймні на основі кількості завантажень , тому я б очікував, що реалізація буде зрілою.

— Алі
джерело