Чому закріплення точки для видалення нульового простору погано?

Рівняння Пуассона з усіма граничними умовами Неймана має єдиний постійний розмірний нульовий простір. При вирішенні методом Крилова нульовий простір можна видалити або шляхом віднімання середнього значення рішення кожної ітерації, або за допомогою закріплення значення однієї вершини.

Закріплення однієї вершини має перевагу простоти, а також дозволяє уникнути додаткового глобального зменшення за проекцію. Однак зазвичай це сприймається як поганий через вплив на кондиціонування. Тому я завжди віднімав засоби.

Однак два способи відрізняються один від одного щонайменше виправленням рангу 2, тому згідно (1) вони повинні збігатися майже в однаковій кількості ітерацій (принаймні в точній арифметиці). Чи правильне це міркування, чи є додаткова причина, що фіксація точки погана (можливо, неточна арифметика)?

(1): Як модифікації низького рангу впливають на конвергенцію методу Крилова?

Ваші аргументи природно стосуються безумовного випадку. Причиною того, що я не рекомендую закріплювати, є те, що вона плутає норми та передумови. Якщо вам відомий розмір типового діагонального значення, ви можете масштабувати тривіальне рівняння для закріпленого вузла, щоб норми знову стали розумними.

Щоб побачити наслідок попередньої кондиціонування, ми маємо розрізняти різні способи примусового закріплення. Я вважаю дві найпопулярніші.

1. Якщо закріплення досягається "нулюванням рядка" (встановлення рядка рівним масштабованому рядку тотожності), воно вводить асиметрію, яка обмежує вибір методу Крилова і може заплутати передумовники (наприклад, зробити алгебраїчну мультисетку вибрати поганий агрегат).
2. Якщо відповідний стовпчик також буде нульовим (із внеском «піднятий» в праву частину), ефект є досить доброякісним.

Зауважте, що оператори інтерполяції для мультирешітки, можливо, доведеться коригувати, щоб виконати фіксацію сумісним способом на кожному рівні. Якщо ви не заперечуєте проти складнощів, запроваджених при застосуванні фіксації з гарним масштабуванням, це прекрасний підхід. У більшості випадків ми виявляємо, що реалізувати фіксацію неруйнівним способом є більш нав’язливою та схильною до помилок, ніж надавати майже нульовий простір. Маючи навколо себе оригінальну (сингулярну) матрицю, бібліотека розв'язувачів може також перевірити, що наданий нульовий простір справді є нульовим простором, захищаючи таким чином від поширеної помилки.