Чи є Кранк-Ніколсон стійкою схемою дискретизації рівняння реакції-дифузії-адвекції (конвекції)?

Я не дуже знайомий із загальними схемами дискретизації для PDE. Я знаю, що Кранк-Ніколсон є популярною схемою для дискретизації рівняння дифузії. Чи є також хорошим вибором для строку адвекції?

Мені цікаво рішення рівняння реакція-дифузія-адвекція ,

$\frac{\partial u}{\partial t} + \nabla \cdot \left( \boldsymbol{v} u - D\nabla u \right) = f$

де - коефіцієнт дифузії речовини а - швидкість.у $D$$u$$\boldsymbol{v}$

Для мого конкретного застосування рівняння можна записати у формі,

$\frac{\partial u}{\partial t} = \underbrace{D\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}}_{\textrm{Diffusion}} + \underbrace{\boldsymbol{v}\frac{\partial u}{\partial x}}_{\textrm{Advection (convection)}} + \underbrace{f(x,t)}_{\textrm{Reaction}}$

Ось схема Кран-Ніколсон, яку я застосував,

$\frac{u_{j}^{n+1} - u_{j}^{n}}{\Delta t} = D \left[ \frac{1 - \beta}{(\Delta x)^2} \left( u_{j-1}^{n} - 2u_{j}^{n} + u_{j+1}^{n} \right) + \frac{\beta}{(\Delta x)^2} \left( u_{j-1}^{n+1} - 2u_{j}^{n+1} + u_{j+1}^{n+1} \right) \right] + \boldsymbol{v} \left[ \frac{1-\alpha}{2\Delta x} \left( u_{j+1}^{n} - u_{j-1}^{n} \right) + \frac{\alpha}{2\Delta x} \left( u_{j+1}^{n+1} - u_{j-1}^{n+1} \right) \right] + f(x,t)$

Зауважте терміни та . Це дозволяє схемі переходити між:$\alpha$$\beta$

• $\beta=\alpha=1/2$ Crank-Niscolson,
• $\beta=\alpha=1$ це повністю неявно
• $\beta=\alpha=0$ це повністю явно

Значення можуть бути різними, що дозволяє терміну дифузії бути Кранком-Ніколсоном, а термін адвекції - чимось іншим. Що є найбільш стабільним підходом, що б ви порадили?

Це добре поставлене питання і дуже корисна річ для розуміння. Коррок правильно відносити вас до аналізу фон Неймана та книги ЛеВека. До цього можу додати трохи більше. Я хотів би написати докладну відповідь, але на даний момент у мене є час лише на коротку:

За допомогою ви отримуєте метод, який є абсолютно стабільним для довільно великих розмірів кроків, а також точним для другого порядку. Однак метод не стійкий до L , тому дуже високі частоти не будуть демпфіровані, що нефізично.$\alpha=\beta=1/2$

За допомогою ви отримуєте метод, який також безумовно стабільний, але лише точний 1-го порядку. Цей метод дуже дисипативний. Він стійкий до L.$\alpha=\beta=1$

Якщо ви приймаєте , ваш метод можна розуміти як застосування методу добавки Runge-Kutta до напівдискретизації з центральною різницею. Аналіз стійкості та точності таких методів значно складніший. Дуже хороша стаття від таких методів тут .$\alpha\ne\beta$

Який підхід рекомендувати, сильно залежить від величини , виду вихідних даних, якими ви займаєтесь, та точності, якої ви шукаєте. Якщо прийнятна дуже низька точність, тоді є дуже надійним підходом. Якщо помірний або великий, то проблема є дифузійною та дуже жорсткою; зазвичай дасть хороші результати. Якщо дуже малий, то може бути вигідним використання явного методу та перемотування вищого порядку для конвективних доданків.α = β = 1 D α = β = 1 / 2 $D$$\alpha=\beta=1$$D$$\alpha=\beta=1/2$$D$

Взагалі кажучи, ви хочете використовувати неявний метод параболічних рівнянь (частина дифузії) - явні схеми для параболічного PDE повинні мати дуже короткий часовий крок, щоб бути стабільним. І навпаки, для гіперболічної частини (адвекції) вам потрібно чіткий метод, оскільки він дешевший і не порушує симетрію лінійної системи, яку вам доведеться вирішити, використовуючи неявну схему дифузії. У такому випадку ви хочете уникнути різниць у центрі на зразок та перейти на однобічні відмінності з міркувань стійкості.( u j - u j - 1 ) / Δ $(u_{j+1}-u_{j-1})/2\Delta t$$(u_j-u_{j-1})/\Delta t$

Я б запропонував переглянути книгу Ренді Левека або книгу Дейла Дуррана для "аналізу стабільності фон Неймана". Це загальний підхід до встановлення стабільності вашої схеми дискретизації, якщо у вас періодичні граничні умови. (Там також гарна вікі стаття тут .)

Основна ідея полягає в тому, щоб припустити, що у вашому дискретному наближенні можна записати суму плоских хвиль , де - число хвилі і частота. Ви набиваєте площину хвилі в наближенні до PDE і молитеся, щоб вона не вибухнула. Ми можемо переписати площину хвилі як і ми хочемо переконатися, що . k ω ξ n e i k j Δ x | ξ | ≤ $e^{i(k j\Delta x-\omega n\Delta t)}$$k$$\omega$$\xi^n e^{ikj\Delta x}$$|\xi|\le 1$

Для ілюстрації розглянемо звичайне рівняння дифузії з повністю неявним диференціюванням:

$\frac{u^{n+1}_j-u^n_j}{\Delta t} = D\frac{u^{n+1}_{j-1}-2u^{n+1}_j+u^{n+1}_{j+1}}{\Delta x^2}$

Якщо підставити в площині хвилю, то ділимо на та , отримаємо рівнянняe i k j Δ $\xi^n$$e^{ikj\Delta x}$

$\frac{\xi-1}{\Delta t} = D\frac{e^{-ik\Delta x}-2+e^{ik\Delta x}}{\Delta x^2}\xi$

Очистіть це трохи зараз, і ми отримаємо:

.$\xi = \frac{1}{1+\frac{2D\Delta t}{\Delta x^2}\left(1-\cos k\Delta x\right)}$

Це завжди менше, ніж один, тож ви в чистоті. Спробуйте застосувати це для явної, по центру схеми рівняння адвекції:

$\frac{u_j^{n+1}-u_j^n}{\Delta t} = v\frac{u_{j-1}^n-u_{j+1}^n}{2\Delta x}$

і подивитися , що , ви отримаєте. (Цього разу це буде уявна частина.) Ви знайдете це | ξ | 2 > 1 , що сумні часи. Звідси моє застереження, що ви не користуєтесь цим. Якщо ви можете це зробити, то у вас не повинно виникнути особливих проблем з пошуком стабільної схеми для повного рівняння адвекційно-дифузійного рівняння.$\xi$$|\xi|^2 > 1$

Це означає, що я використовував би повністю неявну схему для частини дифузії. Змініть різницю в частині адвекції на якщо v > 0 і u j - u j + 1, якщо v < 0, і виберіть часовий крок, щоб V Δ t / Δ x ≤ 1 . (Це умова Куранта-Фрідріха-Льюї .) Це лише точне перше замовлення, тому ви, можливо, захочете шукати схеми дискретизації вищого порядку, якщо це стосується вас.$u_j-u_{j-1}$$v > 0$$u_j-u_{j+1}$$v < 0$$V\Delta t/\Delta x \le 1$