Де я можу знайти хороший орієнтир щодо властивостей стійкості декількох методів розв’язання параболічних PDE?

Зараз у мене є код, який використовує алгоритм Crank-Nicholson, але я думаю, що я хотів би перейти до алгоритму вищого порядку для тимчасового кроку. Я знаю, що алгоритм Кранка-Ніколсона стабільний у домені, над яким я хочу працювати, але мене турбує те, що деякі інші алгоритми можуть не бути.

Я знаю, як обчислити область стабільності алгоритму, але це може бути болем. Хтось знає про якісь хороші орієнтири щодо властивостей стійкості великої кількості алгоритмів часових кроків для параболічних PDE?

Моя особиста улюблена - книга Джона Стрікверди «Схеми кінцевих відмінностей та часткові диференціальні рівняння» .

У нього по-справжньому прекрасне лікування теорії стійкості за допомогою аналізу Фур'є. У мене є лише перше видання, де він не вводить ідеї регіону стабільності. За інформацією веб-сайту SIAM, друге видання додало цей матеріал.

Дуже коротка відповідь: для вичерпної довідки ви не можете перемогти Hairer та Wanner том II .

Коротка відповідь: Ось декілька сценаріїв MATLAB для побудови ділянки стійкості лінійного багатоступінкового або методу Рунге-Кутти з урахуванням коефіцієнтів. Ви також можете використовувати nodepy пакета Python (відмова від відповідальності: це мій пакет, і це не найполірованіший фрагмент програмного забезпечення, але облаштування стабільності - це одне, що дуже добре). Тут наведено інструкції щодо побудови областей стабільності .

Більш довга відповідь: тут є три класи методів, які могли б вас зацікавити.

• $A$$A$-стабільність. Деякі приклади таких методів - методи Гаусса-Легенда, Радау та Лобата. Все це є повністю неявним і, таким чином, досить дорогим.

• $A(\alpha)$ode15s()$\alpha$

• Явні методи , які необхідні, включають лише кінцевий інтервал на негативній реальній осі. Існують спеціальні "стабілізовані" явні методи (зокрема, методи Рунге-Кутта-Чебишева ), які мають великі негативні зони стійкості реальної осі і підходять для м'яко жорстких проблем, але зазвичай не для параболічних проблем. Хорошим підходом до цієї літератури є цей документ , який містить багато інформації про регіони стабільності.

$L$$L$

Оновлення : Якщо вам справді потрібно знати все про цю тему, знайдіть копію монографії Деккера та Вервера . У ньому є одне з найкращих існуючих вступ до таких понять, як односторонні константи Ліпшица, логарифмічна норма та кілька концепцій більш глибокої стійкості. Його немає у друку, але зазвичай ви можете знайти використані копії на Amazon (за ціну!)