Чи може рівняння адвекції зі змінною швидкістю бути консервативним?

Я намагаюся трохи краще зрозуміти рівняння адвекції з коефіцієнтом змінної швидкості. Зокрема, я не розумію, наскільки рівняння може бути консервативним.

Рівняння адвекції ,

\frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x} (v u) = 0

$\frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x}(\boldsymbol{v}u) = 0$

Давайте інтерпретуємо як концентрацію фізичних видів ( ) або якусь іншу фізичну величину, яку неможливо створити або знищити. Якщо ми інтегруємо над нашим доменом, тоді нам слід отримати постійну, $u(x,t)$ $cm^{-3}$ $u(x,t)$

\int_{x_{min}}^{x_{max}} u (x, t) d x = constant

$\int_{x_{\text{min}}}^{x_{\text{max}}} u(x,t) dx = \text{constant}$

(Це я маю на увазі під консервативністю.)

Якщо тепер нехай швидкість буде функцією простору (і часу) , тоді слід застосувати правило ланцюга, щоб дати, $\boldsymbol{v}(x,t)$

\frac{\partial u}{\partial t} + v \frac{\partial u}{\partial x} + \underset{?}{\underset{⏟}{u \frac{\partial v}{\partial x}}} = 0

$\frac{\partial u}{\partial t} + \boldsymbol{v}\frac{\partial u}{\partial x} + \underbrace{u\frac{\partial \boldsymbol{v}}{\partial x}}_{\text{?}} = 0$

Заключний термін "виглядає" як початковий термін, і це мене вважає заплутаним. Це збільшить або зменшить величину залежно від розбіжності поля швидкості. $u$

Після цього питання я розумію, як накласти граничні умови збереження. Однак для рівняння авекції змінної швидкості я не розумію, як можуть бути отримані граничні умови збереження через додатковий "вихідний термін", який вводиться за допомогою правила ланцюга. Чи може це рівняння бути консервативним? Якщо так, то як можна застосовувати корективні граничні умови?

advection conservation

— boyfarrell
джерело

Основна кількість у транспорті - це потік , для адвекції. Теорема дивергенції стверджує, що $\mathbf v u$

\int_{Ω} \nabla \cdot (v u) = \int_{\partial Ω} (v u) \cdot n .

$\int_\Omega \nabla\cdot (\mathbf v u) = \int_{\partial \Omega} (\mathbf v u) \cdot \mathbf n .$

Рівняння консервативне, коли воно зберігає цю рівність. Опустившись до 1D за допомогою та використовуючи рівняння , маємо $\Omega = (a,b)$ $u_t + (\mathbf v u)_x = 0$

(\int_{a}^{b} u)_{t} = \int_{a}^{b} u_{t} = - \int_{a}^{b} (v u)_{x} = - v u |_{a}^{b}

$\Big(\int_a^b u\Big)_t = \int_a^b u_t = -\int_a^b (\mathbf v u)_x = -\mathbf v u |_a^b$

де термін праворуч - це лише різниця потоку між лівою та правою межами.

Що стосується вашого другого спостереження, то неконсервативна (недивергенційна) форма вводить в оману (і виправдана лише для гладких рішень). Продукт не є консервативним транспортом, якщо не є дивергенційним (тобто постійним в 1D). Ви повинні дотримуватися консервативної форми і протистояти позиву застосувати правило ланцюга при оцінці властивостей збереження. $\mathbf v \cdot \nabla u$ $\mathbf v$

— Джед Браун
джерело

Дякую за дійсно чітку відповідь, але ще раз, Джед! Думаю, я буду задавати наступне запитання до цього, але спершу потрібно спробувати реалізувати вашу пропозицію.

— boyfarrell