Збереження фізичної величини при використанні граничних умов Неймана, застосованих до рівняння адвекції-дифузії

Я не розумію різної поведінки рівняння адвекції-дифузії, коли я застосовую різні граничні умови. Моя мотивація - це моделювання реальної фізичної величини (щільності частинок) при дифузії та адвекції. Щільність частинок повинна зберігатися у внутрішніх приміщеннях, якщо вона не витікає з країв. За цією логікою, якщо я виконую умови кордону Неймана, кінці системи, такі як (зліва та праворуч), систему слід "закрити", тобто якщо потік на кордоні дорівнює нулю, то жодна частинка не може вийти.$\frac{\partial \phi}{\partial x}=0$

Для всіх моделей, наведених нижче, я застосував дискретизацію Кранка-Ніколсона до рівняння адвекційно-дифузійної форми, і всі моделювання мають граничних умов. Однак для першого та останнього рядків матриці (рядки граничної умови) я дозволяю змінювати незалежно від внутрішнього значення. Це дає змогу кінцеві точки бути повністю неявними.$\frac{\partial \phi}{\partial x}=0$$\beta$

Нижче я обговорюю 4 різні конфігурації, лише одна з них - це те, що я очікував. Наприкінці я обговорюю свою реалізацію.

Дифузія лише обмежує

Тут умови відхилення вимикаються, встановлюючи швидкість на нуль.

Лише дифузія, з $\boldsymbol{\beta}$ = 0,5 (Crank-Niscolson) у всіх точках

Кількість не зберігається, як видно із зменшення області пульсу.

Дифузія лише з = 0,5 (Crank-Niscolson) у внутрішніх точках, і = 1 (повністю неявна) на межах$\boldsymbol{\beta}$$\boldsymbol{\beta}$

Використовуючи повністю неявне рівняння меж, я досягаю того, чого очікую: жодні частинки не виходять . Ви можете бачити це, зберігаючи ділянку як дифузну частинку. Чому вибір в граничних точках повинен впливати на фізику ситуації? Це помилка чи очікується?$\beta$

Дифузія та адвекція

Коли додається термін адвекції, значення на кордонах, здається, не впливає на рішення. Однак для всіх випадків, коли межі здаються "відкритими", тобто частинки можуть вийти з меж. Чому це так?$\beta$

Адвекція та дифузія з = 0,5 (Crank-Niscolson) у всіх точках$\boldsymbol{\beta}$

Advection and Diffusion з = 0,5 (Crank-Niscolson) у внутрішніх точках, і = 1 (повна неявна) на межах$\boldsymbol{\beta}$$\boldsymbol{\beta}$

Реалізація рівняння адвекції-дифузії

Починаючи з рівняння адвекційно-дифузійної,

$\frac{\partial \phi}{\partial t} = D\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} + \boldsymbol{v}\frac{\partial \phi}{\partial x}$

Написання за допомогою Кранка-Нікольсона дає,

$\frac{\phi_{j}^{n+1} - \phi_{j}^{n}}{\Delta t} = D \left[ \frac{1 - \beta}{(\Delta x)^2} \left( \phi_{j-1}^{n} - 2\phi_{j}^{n} + \phi_{j+1}^{n} \right) + \frac{\beta}{(\Delta x)^2} \left( \phi_{j-1}^{n+1} - 2\phi_{j}^{n+1} + \phi_{j+1}^{n+1} \right) \right] + \boldsymbol{v} \left[ \frac{1-\beta}{2\Delta x} \left( \phi_{j+1}^{n} - \phi_{j-1}^{n} \right) + \frac{\beta}{2\Delta x} \left( \phi_{j+1}^{n+1} - \phi_{j-1}^{n+1} \right) \right]$

Зверніть увагу, що = 0,5 для Crank-Nicolson, = 1 для повністю неявного, і, = 0 для повністю явного.β $\beta$$\beta$$\beta$

Для спрощення позначень давайте зробимо підстановку,

$s = D\frac{\Delta t}{(\Delta x)^2} \\ r = \boldsymbol{v}\frac{\Delta t}{2 \Delta x}$

і перемістіть відоме значення часової похідної праворуч,$\phi_{j}^{n}$

$\phi_{j}^{n+1} = \phi_{j}^{n} + s \left( 1-\beta \right) \left( \phi_{j-1}^{n} - 2\phi_{j}^{n} + \phi_{j+1}^{n} \right) + s \beta \left( \phi_{j-1}^{n+1} - 2\phi_{j}^{n+1} + \phi_{j+1}^{n+1} \right) + r \left( 1 - \beta \right) \left( \phi_{j+1}^{n} - \phi_{j-1}^{n} \right) + r \beta \left( \phi_{j+1}^{n+1} - \phi_{j-1}^{n+1} \right)$

Факторинг термінів дає,$\phi$

$\underbrace{\beta(r - s)\phi_{j-1}^{n+1} + (1 + 2s\beta)\phi_{j}^{n+1} -\beta(s + r)\phi_{j+1}^{n+1}}_{\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{\phi^{n+1}}} = \underbrace{ (1-\beta)(s - r)\phi_{j-1}^{n} + (1-2s[1-\beta])\phi_{j}^{n} + (1-\beta)(s+r)\phi_{j+1}^{n}}_{\boldsymbol{M\cdot}\boldsymbol{\phi^n}}$

яку ми можемо записати у матричній формі як де,$\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{\phi^{n+1}} = \boldsymbol{M}\cdot\boldsymbol{\phi^{n}}$

$\boldsymbol{A} = \left( \begin{matrix} 1+2s\beta & -\beta(s + r) & & 0 \\ \beta(r-s) & 1+2s\beta & -\beta (s + r) & \\ & \ddots & \ddots & \ddots \\ & \beta(r-s) & 1+2s\beta & -\beta (s + r) \\ 0 & & \beta(r-s) & 1+2s\beta \\ \end{matrix} \right)$

$\boldsymbol{M} = \left( \begin{matrix} 1-2s(1-\beta) & (1 - \beta)(s + r) & & 0 \\ (1 - \beta)(s - r) & 1-2s(1-\beta) & (1 - \beta)(s + r) & \\ & \ddots & \ddots & \ddots \\ & (1 - \beta)(s - r) & 1-2s(1-\beta) & (1 - \beta)(s + r) \\ 0 & & (1 - \beta)(s - r) & 1-2s(1-\beta) \\ \end{matrix} \right)$

Застосування граничних умов Неймана

NB знову працює над виведенням, я думаю, що я помітив помилку. Я припускав повністю неявну схему ( = 1) при написанні кінцевої різниці граничної умови. Якщо припустити схему Кранка-Нісколсона, тут складність стає надто великою, і я не міг вирішити отримані рівняння для усунення вузлів, які знаходяться за межами домену. Однак, можливо, можливо, є два рівняння з двома невідомими, але я не міг ним керувати. Це, ймовірно, пояснює різницю між першим та другим сюжетами вище. Я думаю, ми можемо зробити висновок, що справедливі лише графіки з = 0,5 в граничних точках.$\beta$$\beta$

Якщо припустимо, що потік ліворуч відомий (припускаючи повністю неявну форму),

$\frac{\partial\phi_1^{n+1}}{\partial x} = \sigma_L$

Якщо писати це як різницю по центру, це дає

$\frac{\partial\phi_1^{n+1}}{\partial x} \approx \frac{\phi_2^{n+1} - \phi_0^{n+1}}{2\Delta x} = \sigma_L$

Тому $\phi_0^{n+1} = \phi_{2}^{n+1} - 2 \Delta x\sigma_L$

Зверніть увагу, що це вводить вузол який знаходиться поза межами проблеми. Цей вузол можна усунути, використовуючи друге рівняння. Ми можемо записати вузол як$\phi_0^{n+1}$$j=1$

$\beta(r - s)\phi_0^{n+1} + (1+2s\beta)\phi_1^{n+1} - \beta(s+r)\phi_2^{n+1} = (1-\beta)(s - r)\phi_{j-1}^{n} + (1-2s[1-\beta])\phi_{j}^{n} + (1-\beta)(s+r)\phi_{j+1}^{n}$

Підстановка значення знайдене з граничної умови, дає такий результат для рядка = 1,$\phi_0^{n+1}$$j$

$(1+2s\beta)\phi_1^{n+1} - 2s\beta\phi_2^{n+1} = (1-\beta)(s - r)\phi_{j-1}^{n} + (1-2s[1-\beta])\phi_{j}^{n} + (1-\beta)(s+r)\phi_{j+1}^{n} + 2\beta(r-s)\Delta x\sigma_L$

Виконуючи ту саму процедуру для виходу кінцевого рядка (при = ),$j$$J$

$-2s\beta\phi_{J-1}^{n+1} + (1+2s\beta)\phi_J^{n+1} = (1-\beta)(s - r)\phi_{J-1}^{n} + (1 - 2s(1-\beta))\phi_{J}^{n} + 2\beta(s+r)\Delta x\sigma_R$

Нарешті, робити граничні рядки неявними (встановлення = 1) дає,$\beta$

$(1+2s)\phi_1^{n+1} - 2s\phi_2^{n+1} = \phi_{j-1}^{n} + 1\phi_{j}^{n} + 2(r-s)\Delta x\sigma_L$

$-2s\phi_{J-1}^{n+1} + (1+2s)\phi_J^{n+1} = \phi_{J}^{n} + 2(s+r)\Delta x\sigma_R$

Тому за граничних умов Неймана ми можемо записати матричне рівняння ,$\boldsymbol{A}\cdot\phi^{n+1} = \boldsymbol{M}\cdot\phi^{n} + \boldsymbol{b_N}$

де,

$\boldsymbol{A} = \left( \begin{matrix} 1+2s & -2s & & 0 \\ \beta(r-s) & 1+2s\beta & -\beta (s + r) & \\ & \ddots & \ddots & \ddots \\ & \beta(r-s) & 1+2s\beta & -\beta (s + r) \\ 0 & & -2s & 1+2s \\ \end{matrix} \right)$

$\boldsymbol{M} = \left( \begin{matrix} 1 & 0 & & 0 \\ (1 - \beta)(s - r) & 1-2s(1-\beta) & (1 - \beta)(s + r) & \\ & \ddots & \ddots & \ddots \\ & (1 - \beta)(s - r) & 1-2s(1-\beta) & (1 - \beta)(s + r) \\ 0 & & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)$

$\boldsymbol{b_N} = \left( \begin{matrix} 2 (r - s) \Delta x \sigma_L & 0 & \ldots & 0 & 2 (s + r) \Delta x \sigma_R \end{matrix} \right)^{T}$

Моє теперішнє розуміння

• Я думаю, що різниця між першим та другим сюжетами пояснюється зазначаючи помилку, викладену вище.

• Щодо збереження фізичної величини. Я вважаю, що причина полягає в тому, що, як зазначалося тут , рівняння адвекції у формі, яку я записав, не дозволяє розповсюджуватись у зворотному напрямку, тому хвиля просто проходить через навіть граничні умови нульового потоку . Моя початкова інтуїція щодо збереження застосовується лише тоді, коли термін адвекції дорівнює нулю (це рішення на ділянці №2, де збережена площа).

• Навіть при граничних умовах Неймана з нульовим потоком маса все ще може залишити систему, це тому, що правильні граничні умови в цьому випадку є граничними умовами Робіна, в яких загальний потік. задається . Крім того, умова Нойнмана вказує, що маса не може покинути область шляхом дифузії , вона нічого не говорить про адвекцію. По суті, ми чуємо, що це закриті граничні умови дифузії та відкриті граничні умови до адвекції. Для отримання додаткової інформації дивіться відповідь тут: Реалізація градієнта нульового граничного стану в адвекційно-дифузійному рівнянні$\frac{\partial \phi}{\partial x} = 0$$j = D\frac{\partial \phi}{\partial x} + \boldsymbol{v}\phi = 0$.

Чи погодились би ви?

• Підручник про те, як реалізувати граничні умови Робіна.

Я думаю, що одна з ваших проблем полягає в тому, що (як ви зауважили у своїх коментарях) умови Ноймана - це не умови, яких ви шукаєте , в тому сенсі, що вони не передбачають збереження вашої кількості. Щоб знайти правильну умову, перепишіть PDE як

$$\frac{\partial \phi}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial x}\left( D\frac{\partial \phi}{\partial x} + v \phi \right) + S(x,t) .$$

Тепер термін, який відображається в дужках, - це загальний потік, і це кількість, яку потрібно поставити до нуля на межах, щоб зберегти . (Я додав заради загальності та для ваших коментарів.) Прикордонні умови, які вам доведеться встановити, - це (припустимо, що ваш космічний домен )$D\frac{\partial \phi}{\partial x} + v \phi = 0$$\phi$$S(x,t)$$(-10,10)$

$$D\frac{\partial \phi}{\partial x}(-10) + v \phi(-10) = 0$$

для лівої сторони та

$$D\frac{\partial \phi}{\partial x}(10) + v \phi(10) = 0$$

для правого боку. Це так звана гранична умова Робіна (зауважте, що Вікіпедія прямо говорить, що це ізоляційні умови для рівнянь адвекційно-дифузійної).

Якщо встановити ці граничні умови, ви отримаєте властивості збереження, які шукали. Дійсно, інтегруючись у космічну область, ми маємо

$$\int \frac{\partial \phi}{\partial t} dx = \int \frac{\partial}{\partial x} \left( D \frac{\partial \phi}{\partial x} + v \phi \right) dx + \int S(x,t) dx$$

Використовуючи інтеграцію за частинами з правого боку, ми маємо

$$\int \frac{\partial \phi}{\partial t} dx = \left( D \frac{\partial \phi}{\partial x} + v \phi \right)(10) - \left( D \frac{\partial \phi}{\partial x} + v \phi \right)(-10) + \int S(x,t) dx$$

Тепер два центральних терміни зникають завдяки граничним умовам. Інтегруючись у часі, ми отримуємо

$$\int_0^T \int \frac{\partial \phi}{\partial t} dx dt = \int_0^T \int S(x,t) dx dt$$

і якщо нам дозволено перемикати перші два інтеграли ,

$$\int \phi(x,T) dx - \int \phi(x,0) dx = \int_0^T \int S(x,t) dx$$

Це показує, що домен ізольовані від зовнішності. Зокрема, якщо , отримаємо збереження .$S=0$$\phi$