Які відмінності між Parareal, PITA та PFASST?

Алгоритми Parareal, пита, і PFASST все поголовне-області техніки для розпаралелювання рішення нестаціонарних задач в часі.

1. Які основні принципи стоять за цими методами?

2. Які основні відмінності між ними?

3. Чи можу я сказати, що одна заснована на іншому? Як?

4. А як щодо їх застосування?

Я знаю, що відповіді на питання "що краще?" Не знайде, але мені добре допомагає добре розуміти сфери їх застосування та умови перевірки.

Ці методи можуть бути грубо описані в термінах двох тимчасових покрокові методів, які охоплюють тут і F . І G, і F поширюють початкове значення U n ≈ u ( t n ) шляхом наближення рішення до$G$$F$$G$$F$$U_n \approx u(t_n)$

$$u(t) = u_0 + \int_0^t f(\tau,u(\tau)) \,d\tau$$

від до t n + 1 (тобто ˙ u = f ( u , t ) ). Для ефективності методів повинно бути так, що пропагатор G обчислювально дешевший, ніж F- пропагатор, і, отже, G зазвичай метод низького порядку. Оскільки загальна точність методів обмежена точністю F пропагатор, F , як правило , більш високий порядок , і, крім того , може використовувати менший крок часу , ніж G . З цих причин $t_n$$t_{n+1}$$\dot{u} = f(u,t)$$G$$F$$G$$F$$F$$G$$G$позначається як крупний розмножувач і - тонкий пропагатор.$F$

Метод Парареаль починається з обчислення першого наближення для n = 0 … N - 1, де N - кількість часових кроків, використовуючи крупний розповсюджувач. Паралельний метод потім продовжується ітераційно, чергуючи паралельне обчислення F ( t n + 1 , t n , U k n ) та оновлення початкових умов на кожному процесорі форми$U_{n+1}^0$$n = 0 \ldots N-1$$N$$F(t_{n+1},t_n,U_n^k)$

$$U_{n+1}^{k+1} = G(t_{n+1}, t_n, U_n^{k+1}) + F(t_{n+1}, t_n, U_n^k) - G(t_{n+1}, t_n, U_n^{k})$$

$n = 0 \ldots N-1$$G$$F$

Метод PITA дуже схожий на Parareal, але він відслідковує попередні оновлення та лише оновлює початкові умови кожного процесора таким чином, що нагадує методи підпростору Крилова. Це дозволяє PITA вирішувати лінійні рівняння другого порядку, які Parareal не може.

Метод PFASST відрізняється від методів Parareal та PITA двома основними способами: по-перше, він спирається на ітераційну схему відстеження відстроченої спектральної корекції (SDC), а по-друге, вона включає поправки схеми повного наближення до грубого розповсюджувача, а фактично PFASST може використовувати ієрархію розповсюджувачів (замість лише двох). Використання SDC дозволяє паралельно виконувати часові паралелі, а ітерації SDC гібридизовані, що послаблює обмеження ефективності Parareal та PITA. Використання корекцій FAS дає велику гнучкість при конструюванні грубих розповсюджувачів PFASST (що дозволяє зробити грубі розмножувачі максимально дешевими, сприяє підвищенню паралельної ефективності). Стратегії грубого укрупнення включають: обгрунтування часу (менша кількість вузлів SDC), обробку простору (для PDE, заснованих на сітці), обгрунтування операторів та зменшення фізики.

Я сподіваюся, що це окреслює основи, відмінності та подібність між алгоритмами. Будь ласка, дивіться посилання в цій публікації для отримання більш детальної інформації.

Щодо застосувань, методи застосовувались до найрізноманітніших рівнянь (планетарні орбіти, Нав'є-Стокса, системи частинок, хаотичні системи, структурна динаміка, атмосферні потоки тощо тощо). Застосовуючи паралелізацію часу до даної проблеми, ви, безумовно, повинні підтвердити метод таким чином, що підходить для вирішення проблеми.