Інтуїтивна інтерпретація трансформації Лапласа

10

Тож я розуміюсь із перетвореннями Фур'є. Інтуїтивно зараз я точно розумію, що це робить, і незабаром слідкую за деякими класами з математики (так, власне, предмет). Але потім я продовжую читати про трансформацію лапласа, і там я щось втрачаю. Який момент сигналу? Чому перетворення фур'є є особливим випадком перетворення лапласа? Як я можу впоратися з трансформацією Лапласа?

Я переглянув ці джерела, перш ніж поставити це питання:

Що розуміють під системою "імпульсна характеристика" та "частотна характеристика?"

Як розрізнити різні частотні області?

Амплітуда проти частотної реакції

Чому трансформація Фур'є настільки важлива?

http://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_transform

— Лев
джерело

1

Я думаю, що це гарне запитання, оскільки це не особливо інтуїтивна концепція

— PAK-9

5

Якщо ви розумієте перетворення Фур'є, то, ймовірно, вже є концептуальна модель перетворення сигналів у частотну область. Перетворення Лапласа забезпечує альтернативне представлення частотного домену сигналу - зазвичай його називають "домен S", щоб диференціювати його від інших перетворень частотного домену (наприклад, перетворення Z - це, по суті, декретизований еквівалент перетворення Лапласа).

Який момент сигналу?

Як ви, без сумніву, знаєте, що трансформація Лапласа дає нам опис сигналу від його моментів, подібно до того, як перетворення Фур'є дає нам опис від фази та амплітуд.

В цілому моментом можна вважати те, як вибірка відхиляється від середнього значення сигналу - перший момент насправді є середнім, другий - дисперсією і т. Д. ... (це в сукупності відомі як "моменти розподілу")

Враховуючи нашу функцію F (t), ми можемо обчислити n-ю похідну при t = 0, щоб дати наш n-й момент. Так само, як сигнал можна повністю описати, використовуючи фазу і амплітуду, він може бути описаний повністю всіма його похідними.

Чому перетворення фур'є є особливим випадком перетворення лапласа?

Якщо ми подивимось на двосторонню трансформацію Лапласа:

\int_{- \infty}^{\infty} е^{- с т} f (т) г т

${\int_{-\infty}^\infty}e^{-st}f(t)dt$

Має бути цілком очевидним, що підміна $s=i\omega$ дасть знайоме рівняння перетворення Фур'є:

\int_{- \infty}^{\infty} е^{- i ω т} f (т) г т

${\int_{-\infty}^\infty}e^{-i\omega t}f(t)dt$

Є деякі зауваження щодо цього взаємозв'язку ( http://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_transform#Fourier_transform ), але математика повинна бути досить прозорою.

— ПАК-9
джерело

3

Я не бачу, як перетворення Лапласа є "Описом сигналу від його моментів". Я був би радий дізнатися цей світогляд речей.

— Рой

Цікаво, дякую за вашу відповідь! Тим більше, пояснення щодо того, що таке момент, було набагато більш зрозумілим, ніж те, що я читав до цього часу. Як інтеграли призводять до S і частотної області для мене все ще непрозорі, але як фур'є є підмножиною лапласа, зараз очевидніше. Спасибі

— Лев

8

Чому перетворення фур'є є особливим випадком перетворення лапласа?

Перетворення Лапласа створює 2D поверхню складних значень, тоді як перетворення Фур'є виробляє 1D лінію складних значень. Перетворення Фур'є - це те, що ви отримуєте, коли розрізаєте перетворення Лапласа по осі jω. Наприклад, простий фільтр низьких частот $H(s)=\frac{1}{s+1}$ має єдиний полюс у площині S зліва від початку:

S площині та інших сюжетах

Розглянута збоку, величина цього перетворення Лапласа утворює поверхню, при цьому полюс діє як наметний полюс, який піднімає амплітуду до нескінченності в цій точці (і мається на увазі нуль у нескінченності, що опускає амплітуду до нуля далі від дальшого походження ви отримуєте в будь-якому напрямку):

наметове полюс

Якщо тепер взяти значення поверхні тільки по осі jω, це перетворення Фур'є. Червона крива на зображенні вгорі, яку ви бачите, утворює фільтр низьких частот. Якщо ви перемістили полюс далі від початку, намет переміститься в тому ж напрямку, і зріз уздовж осі jω знизиться, зменшуючи приріст (який ми компенсуємо додаванням загального посилення) і збільшуючи частоту відсічення. Я мав намір зробити деякі анімації з подібних матеріалів ...

http://www.maximintegrated.com/en/app-notes/index.mvp/id/733

https://dsp.stackexchange.com/a/9579/29

— ендоліт
джерело

4

Найкращий інтуїтивний опис трансформації Лапласа, який я коли-небудь бачив:

На перший погляд, здається, що стратегія перетворення Лапласа така ж, як і перетворення Фур'є: співвіднесе сигнал часової області з набором базових функцій для розкладання форми хвилі. Неправда! Незважаючи на те, що математика майже однакова, обгрунтування цих двох прийомів дуже відрізняється.

Перетворення Лапласа можна розглядати як зондування імпульсної реакції системи з різними експоненціально розпадаються синусоїдами. Зондові форми хвиль, які виробляють скасування, називаються полюсами і нулями.

Це дозволяє нам замість опису частотної характеристики для кожного $\omega$ використовувати невеликий набір функціональних точок, які визначають поведінку системи у всіх інших точках (включаючи частину $s$ -план $s=j\omega$ яка є частотною характеристикою).

У цьому книзі є приємна аналогія:

Тепер подумайте, як ви розумієте взаємозв'язок між висотою та відстані по маршруту поїзда, порівняно з провідником. Оскільки ви безпосередньо вимірювали висоту по дорозі, ви можете правильно стверджувати, що ви знаєте все про стосунки. Для порівняння, провідник знає цю саму повну інформацію, але у більш простому та інтуїтивно зрозумілому вигляді: розташування пагорбів та долин, які спричиняють занурення та горби по шляху. Хоча ваш опис сигналу може складатися з тисяч індивідуальних вимірювань, опис провідника сигналу буде містити лише кілька параметрів.

— Юрій Ненахов
джерело

3

Це корисне посилання, але було б чудово, якби ви додали деякі деталі про те, що саме полягає в тому, що ви знаходите інтуїтивно зрозумілий у цьому документі. Тут зазвичай не рекомендується відповідати лише на посилання.

— Метт Л.

3

Ласкаво просимо на DSP.SE! Система позначила це як відповідь низької якості. Будь ласка, зробіть так, як пропонує Метт Л., і підсумуйте, що опис знаходиться за посиланням.

— Пітер К.