Відмінності між фільтруванням та згладжуванням поліномної регресії?

У чому полягають відмінності між класичною низькочастотною фільтрацією (з IIR або FIR) та "згладжуванням" за допомогою локалізованої поліноміальної регресії N-го ступеня та / або інтерполяції (у випадку підвищеної вибірки), зокрема у випадку, коли N більший за 1 але менше локальної кількості балів, використаних у регресії.

lowpass-filter interpolation

— гаряча лапа2
джерело

+1 Чудове запитання, ти мене до цього побив. :-) AFAIK з використанням N = 2 відповідає лінійній «класичній» фільтрації, з якою ми знайомі, але я можу помилитися з цього приводу.

— Спейсі

реконструкція sinc проти інтерполяції сплайна: cnx.org/content/m11126/latest " інтерполяція сплайну плавніша, ніж інтерполяція sinc. Це тому, що підтримка кардинальних сплайнів є більш компактною, ніж підтримка функції sinc."

— ендоліт

Як фільтрування з низьким проходом, так і згладжування поліноміальної регресії можна розглядати як наближення функції. Однак засоби для цього різні. Ключове питання, яке потрібно задати тут, - "Чи можете ви зробити одне з точки зору іншого?" а коротка відповідь - «не завжди» з причин, які пояснюються нижче.

При згладжуванні за допомогою фільтрації ключовою операцією є згортка, де , що в частотній області перекладається на де позначається дискретна трансформація Фур'є (а - обернена). Дискретна перетворення Фур'є (наприклад, ) пропонує наближення $y(n)=x(n)*h(n)$ $y=F^{-1}(F(x)F(h))$ $F$ $F^{-1}$ $F(x)$ $x$ як сума тригонометричних функцій. Коли - фільтр низьких частот, утримується менша кількість низькочастотних компонентів і різкі зміни згладжуються. Це встановлює низькочастотну фільтрацію в контексті наближення функції, використовуючи тригонометричні функції в якості базових функцій , але варто переглянути формулу згортки, щоб зауважити, що при фільтруванні y (n) (вихід фільтра) залежить від а також зважена сума минулих вибірок (зважування тут визначається "формою" ). (подібні міркування стосуються і фільтрів IIR, звичайно, з додаванням минулих значень $h$ $x$ $x(n)$ $x$ $h$ також) $y(n)$

Хоча при згладжуванні деяким n-градусним многочленом вихід інтерполянта залежить лише від та суміші (різних) базових функцій (їх також називають одночленами ). Що це за різні основні функції? Це постійне ( ), лінія ( ), парабола ( ) і так далі (див на це для гарної ілюстрації). Зазвичай, коли ми маємо справу з рівновіддаленими зразками в часі та з причин, що стосуються точності, використовується форма полінома Ньютона $x(n)$ $a_0x^0$ $a_1x$ $a_2x^2$ . Причина, яку я цитую, полягає в тому, що через це легко зрозуміти, що при виконанні лінійної інтерполяції ви можете побудувати ядро фільтра, яке повертає лінійно зважену суму доступних зразків, подібно до того, як поліном низького порядку інтерполяції використовує "лінії" для інтерполяції між двома зразками. Але у більш високих ступенях два методи наближення могли б повернути різні результати (через відмінності в базових функціях).

$x(n)$ $x$ -примітити пункт про нормалізацію-)

Причина використання фільтрування в якості інтерполяції кілька разів, скажімо, наприклад, у випадку "Sinc Interpolation", полягає в тому, що це також має сенс з фізичної точки зору. Ідеалізоване представлення смугової системи (наприклад (лінійного) підсилювача або лінзи в оптичній системі ) у часовій області є імпульсом sinc. Частотним представленням області імпульсу sinc є прямокутник "імпульс" $x^3$ наприклад). Я суворо говорю про обмеження, накладені інтерполяцією, коли намагається «вгадати» об’єктивно відсутні значення.

Не існує універсального "найкращого методу", він значною мірою залежить від проблеми інтерполяції, з якою ви стикаєтесь.

Я сподіваюся, що це допомагає.

PS (Артефакти, згенеровані кожним із двох методів наближення, також відрізняються, див., Наприклад, феномен Гіббса та надмірне оснащення , хоча надмірне розміщення є "з іншого боку" вашого питання.)

— A_A
джерело

+1 Відмінна відповідь. Деякі подальші дії: 1) Ви згадуєте про неврахування минулих значень x [n] в поліноміальному примірнику, однак, хіба це не суперечлива точка, заснована на тому, що ви сказали про те, що x [n] - це підсумок синусів / косинусів? (Минулі значення, враховані чи ні, це все-таки справедливо). 2) Мене дещо бентежить фізична інтерпретація того, що в цьому випадку щось обмежене смугою. Хіба все не обмежено? Тобто, пройде певна частота і послабить інші? Що таке фізичний приклад безлімітної системи? Спасибі.

— Спейсі

1) Не впевнений, що я цілком розумію, що ви маєте на увазі, але я мав на увазі відмінності між отриманням виходу від згортки та поліномальної підгонки. 2) У деяких випадках сигнали та системи обробляються в одних рамках. Теоретично існують сигнали, які не обмежені смугами ( en.wikipedia.org/wiki/… ), наприклад (справді) білий шум ( en.wikipedia.org/wiki/White_noise ). Дуже хороше лікування доступне у Signals & Systems від Oppenheim та Willsky. Я тут використав цей термін, щоб встановити зв'язок між bandlimit-> sinc

— A_A

Гаразд, я переписав своє запитання - просто для того, щоб переконатися: 1) Чим більше поліномів вищого порядку ми використовуємо, тим більш "упередженими" ми примушуємо відносини між точками, які можуть не відповідати фізичній реальності, так? (Більше цього не завжди краще в цьому випадку.) 2) Щодо обмеження смуги - мені просто цікаво, чому ми це говоримо, адже хіба КОЖНА системна смуга обмежена, при цьому вона займає лише певні частоти і послаблює інших? Спасибі.

— Спейсі

Мені шкода, що це уникнуло моєї уваги. Для цих конкретних питань: 1) Не обов'язково. У наведеному прикладі я мав на увазі обмеження, накладені "формою" мономеїв. 2) Сигнали та системи допоможуть дуже багато. Деякі речі, як кажуть, є точними, оскільки в інженерних програмах використовується підмножина математики, яка в іншому полі може бути дуже корисною для недіапазонних обмежених сигналів (як справді рівномірний випадковий процес (білий шум), пов'язаний вище).

— A_A

Приємне запитання та освічуючі відповіді. Мені хотілося поділитися кількома ідеями наступним чином. Існують також ортогональні поліноміальні бази, такі як поліномічні основи Легенда (на відміну від одночленних основ), які є більш стійкими при встановленні поліномів вищого ступеня. Оскільки синк-бази, використовувані в інтерполяційній формулі Шеннона (що насправді також можна розглядати як операцію згортання і, отже, фільтруючу операцію), є ортогональними основами для обмеженого простору Гільберта, ортогональні поліноміальні бази можуть слугувати для наближення більшого класу функцій, що не є в обмеженій смузі простір разом з тим, що має силу ортогональності з ними.

Поліноміальна фільтрація (а не інтерполяція) також існує в хімічній літературі з 1960 р. Хороший конспект лекцій щодо перегляду цієї теми написав Р. Шафер під назвою "Що таке фільтр Савіцького-Голая", посилання: http: // www-inst. eecs.berkeley.edu/~ee123/fa12/docs/SGFilter.pdf

— Неекс
джерело