Яка різниця між згорткою і перехресною кореляцією?

47

На кількох сайтах я виявив, що згортання та перехресна кореляція схожі (включаючи теги вікі для згортання), але я ніде не знайшов, як вони відрізняються.

Яка різниця між ними? Чи можете ви сказати, що автокореляція також є своєрідною згорткою?

convolution autocorrelation cross-correlation

— Мієн
джерело

2

Може бути цікаво відзначити, що для рівних реальних функцій перехресна кореляція та згортання дають однаковий результат.

2

Один використовує 5-кінцеву зірку ★, а другий використовує 6-кінну зірку ✶.

— ендоліт

41

Єдина відмінність між перехресною кореляцією та згорткою - це перестановка часу на одному з входів. Дискретна згортання та перехресна кореляція визначаються наступним чином (для реальних сигналів; я знехтував потрібними кон'югатами, коли сигнали складні):

x [n] * h [n] = \sum_{k = 0}^{\infty} h [k] x [n - k]

$x[n] * h[n] = \sum_{k=0}^{\infty}h[k] x[n-k]$

c o r r (x [n], h [n]) = \sum_{k = 0}^{\infty} h [k] x [n + k]

$corr(x[n],h[n]) = \sum_{k=0}^{\infty}h[k] x[n+k]$

Це означає, що для ефективної перехресної кореляції ви можете використовувати алгоритми швидкої згортання, такі як перекриття-збереження ; просто спочатку поверніть один із вхідних сигналів. Автокореляція ідентична вищесказаному, за винятком , тому ви можете розглядати це як пов'язане з згорткою аналогічно. $h[n] = x[n]$

Редагувати: оскільки хтось щойно задав повторне запитання, я надихнувся додати ще одну інформацію: якщо ви реалізуєте кореляцію в частотній області, використовуючи швидкий алгоритм згортання, наприклад, перекриття-збереження, ви можете уникнути клопоту, повернення одного з сигналів спочатку шляхом заміщення одного з сигналів у частотній області. Можна показати, що кон'югація в частотній області еквівалентна реверсу в часовій області.

— Джейсон Р
джерело

12

Ця відповідь чудова для реальних сигналів, але Джейсон вивів складні сигнали, і в цьому випадку важливо відзначити, що " не лише справа в тому, що ... повернення часу ..." Дійсно, складні кон'югати потрібні на одному з двох сигналів у формулі кореляції (який кон'югований - це питання конвенції - дехто каже, що може, а хтось каже - ма, - але обидва називають фрукт овочем). З іншого боку, жоден сигнал не кон'югований у формулі згортки.

— Діліп Сарват

1

але що це означає, що вони такі схожі? Використовуючи кілька глибоких інтуїтивних слів!

— Дієго

Я не бачу, як це повертається, а не зміщується в зворотному напрямку до корисного?

— Джонатан.

@ Джонатан.: Зворот відбувається тому, що індекс часу всередині підсумовування заперечується у випадку кореляції проти згортки. Якщо ви відпрацьовуєте математику для прикладу сигналу, ви побачите ефект.

k

$k$

— Джейсон R

@JasonR, напевно, це просто призводить до зрушення у зворотному напрямку? Я спробував це опрацювати, і все, що трапляється, - вхід x зміщується з h введення, і все закінчується як нуль. jsfiddle.net/ua5d1uo2

— Джонатан.

12

Для безперервної згортки та безперервної перехресної кореляції Неважко показати, що перехресна кореляція оператор є зв'язаним оператором оператора згортки .

[H f] (x) \equiv f (x) * h (x) \equiv \int d x^{'} h (x - x^{'}) f (x^{'})

$[Hf](x) \equiv f(x) * h(x) \equiv \int\mathrm{d}x' h(x-x')f(x')$

[G f] (x) \equiv f (x) ⋆ h (x) \equiv \int d x^{'} h^{*} (x^{'} - x) f (x^{'})

$[Gf](x) \equiv f(x) \star h(x) \equiv \int \mathrm{d}x'h^*(x'-x)f(x')$

G

$G$

H

$H$

Також операція згортки є комутативною тоді як перехресна кореляція не має такої властивості.

f (x) * h (x) = h (x) * f (x),

$f(x) * h(x) = h(x) * f(x),$

$\\\\\\\\$

— чаохуанг
джерело

5

Як студент я був пов'язаний з тією ж проблемою, що і ви. Дозвольте пояснити вам найпростішими словами без жодної математики.

Звитий: використовується для згортання двох функцій. Можливо, це здасться зайвим, але я наведу приклад: ви хочете складати (в не математичному терміні "поєднувати") одиничну клітинку (яка може містити все, що завгодно: білок, зображення тощо) та решітчасту структуру. Результатом було б те, що ця одинична комірка організована у кожній точці решітки, створюючи повторну структуру організованої одиничної комірки.

Перехресна кореляція: використовується для ідентифікації клітини всередині структури. Як приклад, ви маєте зображення невеликого шматочка міста та зображення всього міста. За допомогою перехресної кореляції ви можете визначити, де ця маленька картинка знаходиться всередині картини міста. Говорячи простіше, він "сканує", поки не знайде відповідність. Тепер це робиться шляхом пошуку коефіцієнта перехресної кореляції, який походить від суми різних множень значення, що надходить із кожної картини.

Це дуже просто. Якщо ви хочете зрозуміти більше математику по-дружньому, перегляньте це відео. Цей професор з CALTECH пояснює це найкращим чином, який я коли-небудь бачив.

https://www.youtube.com/watch?v=MQm6ZP1F6ms

Удачі.

— Андрес
джерело

2

Ось візуалізація двох, якщо це допомагає інтуїції:

http://www.youtube.com/watch?v=Ma0YONjMZLI

— user2084538
джерело

3

Це дуже погано обрана ілюстрація різниці між двома операціями, оскільки залишається враження, що результат перехресної кореляції - це просто зворотний час результату згортання.

— Діліп Сарват