Яка різниця між вейвлет-перетворенням Габора-Морлета і постійним-Q-перетворенням?

На перший погляд, постійне перетворення Q-фур'є та комплексне вейвлет- перетворення Габора-Морлета здаються однаковими. Обидва - це частотно-часові уявлення, засновані на фільтрах постійного Q, віконних синусоїдах і т. Д. Але, можливо, є різниця, що мені не вистачає?

Постійний Q Transform Toolbox для обробки музики говорить:

CQT відноситься до частотно-часового подання, коли частотні відрізки геометрично розташовані, а коефіцієнти Q (відношення центральних частот до ширини смуги) всіх бінів рівні.

Аналіз часової шкали говорить:

Тобто обчислення CWT сигналу за допомогою вейвлета Морлета - це те саме, що передача сигналу через ряд смугових фільтрів, центрованих у з постійною Q . $f = \frac{5/2\pi}{a}$ $5/2\pi$

— ендоліт
джерело

Відповіді:

Простіше кажучи, і const-Q-перетворення, і вейвлет-трансформація Gabor-Morlet є просто суцільними вейвлет-перетвореннями. Або, точніше, їх наближення, оскільки у реальних додатках завжди будуть проблеми дискретизації.

Властивістю вейвлет-перетворень є те, що вони мають вбудовувати властивість постійного Q-фактора або іншими словами логарифмічного масштабування. Габор і Морлет - це лише два назви певної функції вейвлетів (складні експоненти з гауссовим вікном), яка використовується найчастіше. Перетворення CQ просто використовує іншу базову функцію / вейвлет і має спеціальну назву, приєднану до неї, ймовірно, з якоїсь історичної причини.

— Андре Бергнер
джерело

Важливо зазначити, що розроблені різні вейвлети пропонують різні декомпозиції сигналів, які вони використовуються для вивчення. Для розкриття конкретних ознак сигналу певним чином вибираються конкретні вейвлети. Коли ви обчислюєте коефіцієнти вейвлет, ви виконуєте кореляцію вибраного вейвлета з цікавим сигналом; таким чином форма вейвлета визначає форму ознак сигналу, які розкриваються.

Деякі функції вейвлет були "розроблені" для забезпечення розкладу, який може стосуватися розкладу Фур'є (насправді більше відповідає короткотерміновим розкладам Фур'є, що використовуються для отримання спектрограм сигналів). Вейвлет Morlet - хороший приклад такої функції вейвлетів. Інші вейвлети були "розроблені" для виявлення розривів або ребер сигналів. Я бачив документи, в яких для цього використовуються функції вевелету Daubechies.

Може бути корисним зробити кілька досліджень, щоб побачити, як кожна з функцій вейвлет, яку ви згадали, використовується на практиці. Я думаю, це допоможе вам краще зрозуміти, чим відрізняються вейвлети.

— user2718
джерело

Питання, зокрема, стосується лише вейвлета Морлета та того, як воно стосується постійної Q-трансформації, яка також є типом розкладання Фур'є. Чи є різниця між ними, чи вони переосмислюють одне й те саме? Я також знайшов алгоритм "Фіксована точка на октаву (FPPO)", який "використовує часове вікно вимірювання, яке змінюється залежно від частоти, використовуючи довге вікно часу на низьких частотах (для вузької роздільної здатності) і послідовно коротше часове вікно на високих частотах " rationalacoustics.com/files/FFT_Fundamentals.pdf

— endolith

Я розмістив конкретний коментар стосовно питання. Мій інший пост був покликаний заохотити плаката зрозуміти, наскільки вейвлетські перетворення унікальні, і чому має сенс розробляти перетворення на основі різних функцій вейвлетів.

— користувач2718

"Чи є різниця між ними, або вони переосмислюють одне і те ж?" Вони різні. Основа методів Фур'є базується на синусових функціях і не має роздільної шкали часу. Віконні версії перетворення Фур'є підходять до того, що робиться з вейвлетами. Вейвлет-перетворення засновані на компактно підтримуваних базових функціях, і перетворення є поданням часу / масштабу, а не поданням часу / частоти. Деякі функції вейвлет імітують методи Фур’є за дизайном, але це не є вимогою.

— користувач2718

Постійне перетворення Q не є вейвлет-перетворенням. Постійне перетворення Q - це особлива зміна короткочасного перетворення Фур'є, в якому частотні відрізки розташовані в експоненціальному просторі, а не лінійно розташовані, як у випадку дискретного перетворення Фур'є.

Докладні відомості див. На веб-сайті: http://en.wikipedia.org/wiki/Constant_Q_transform .

Деякі вейвлет-перетворення також вважаються постійними Q-перетвореннями, оскільки в дискретних версіях перетворень масштаб вейвлет змінюється експоненціально (база в цьому випадку становить 2). Відповідно до наступного документу університету Стенфорда ( https://ccrma.stanford.edu/~jos/sasp/Continuous_Wavelet_Transform.html ):

Коли материнська вейвлет може бути інтерпретована як віконна синусоїда (наприклад, вейвлет Морлета), вейвлет-трансформація може бути інтерпретована як константа постійного перетворення Фур'є -12. класичний банк фільтрів третьоктави) непросто було інвертувати, оскільки базові сигнали не були ортогональними. Див. Додаток E для пов'язаної дискусії

— user2718
джерело

"Постійне перетворення Q не є вейвлет-перетворенням." Як так?

— ендоліт

Це, мабуть, є дещо проблемою семантики, але «постійне Q перетворення» розвинулось із короткотермінового перетворення Фур'є, тому в аналізі не використовується жодна вейвлет-функція. Він аналогічний вейвлет-аналізу тим, що відриви частоти розташовані експоненціально. Хвильові перетворення конкретно не стосуються частоти. Хвильові перетворення стосуються лише масштабу. Поєднання масштабу та вейвлет-функції може бути пов'язане з частотою, але дві речі не однакові.

— користувач2718

З того, що я читав, вейвлет Габора-Морлета був першим безперервним вейвлет-перетворенням і був зосереджений на частоті, а не на шкалі, оскільки він був похідний від перетворення Габора, що є перетвореною за Фур'є. Ігноруючи семантичні відмінності, чи є різниця в способі обчислення CQT і Morlet WT?

— ендоліт

Хіба не ті математично еквівалентні, якщо припустити, що функція вікна однакова, і вейвлет зроблений із складного експоненціалу?

— ендоліт

Я думаю, ви можете домогтися перетворення вікна Фур'є, що еквівалентно вейвлетському перетворенню. Зазвичай у застосуванні постійного перетворення Q функція вікна не вибирається для забезпечення умов прийнятності, необхідних для вейвлетів, тому в цілому постійне перетворення Q не те саме, що вейвлет-перетворення. Умови прийнятності для вейвлетів гарантують, що аналіз є оборотним (тобто ви можете реконструювати свій часовий сигнал за результатами перетворення), що взагалі не відповідає дійсності для постійного перетворення Q.

— користувач2718