Як вивести імпульсну відповідь лінійної системи з набору вхідних та вихідних сигналів?

Я хочу знати, як вирішити ці типи проблем. Це інспекція?

Розглянемо лінійну систему нижче. Коли входи в систему , та , відповіді систем , та як показано. $x_1[n]$ $x_2[n]$ $x_3[n]$ $y_1[n]$ $y_2[n]$ $y_3[n]$

введіть тут опис зображення

Визначте, чи система інваріантна за часом чи ні. Просто ваша відповідь.
Що таке імпульсна відповідь?

EDIT: Припустимо загальний випадок, коли вказані входи не містять масштабований імпульс, як $x_2[n]$

— Бельбесі
джерело

Підказка: Використовуйте і щоб визначити, якою має бути імпульсна відповідь (оскільки - це лише масштабований імпульс). Це дає вам відповідь до частини (b). Потім перевірте два інші випадки, щоб побачити, чи відповідають входи / виходи цьому імпульсному відгуку (використовуючи властивість суперпозиції лінійної системи), щоб отримати відповідь на частину (а).

x_{2} [n]

$x_2[n]$

y_{2} [n]

$y_2[n]$

T

$T$

x_{2} [n]

$x_2[n]$

— Джейсон R

Це більш складна проблема в загальному випадку. Якщо вони всі такі короткі, ви знаєте верхню межу тривалості імпульсної відповіді, і у вас є достатньо пар введення / виводу, то ви можете створити систему лінійних рівнянь, яку ви могли б вирішити, щоб дійти до невідомого імпульсу. значення відповіді.

— Джейсон R

У загальному випадку також цілком можливо, що немає рішення FIR або взагалі немає рішення. Підказка: перевірте значення постійного струму x1 [n] та y1 [n].

— Гільмар

Підказка: Як виглядає сигнал ? Для системи LTI відповідь має бути , ні? Є це? Крім того , помітить , що для дискретного часу лінійного часу - варіанти системи, існує не один відповідь блок-імпульсного але нескінченність відповідей блоку-імпульси, по одному на кожен момент часу , коли відбувається імпульсний блок.

x_{2} [n] - x_{2} [n - 2]

$x_2[n]-x_2[n-2]$

y_{2} [n] - y_{2} [n - 2]

$y_2[n]-y_2[n-2]$

— Діліп Сарват

@DilipSarwate: Я погоджуюся, що це жахлива проблема домашнього завдання. Однак система виглядає причинно. У той час як

є ненульовим для

, так це

, тому вихід системи не веде вхід вчасно.

y_{3} [n]

$y_3[n]$

n = - 2

$n=-2$

x_{3} [n]

$x_3[n]$

— Джейсон Р

Відповіді:

Я не впевнений, у чому полягає вигада про причинність чи відсутність. Ви можете підійти до цієї проблеми, просто подумавши про лінійну алгебру. - лінійне перетворення. Застосування до вводу - це просто матричне множення. Отже, у нас Якщо - імпульс, то він просто вибирає стовпчик , тому стовпці - це імпульсні реакції. Звичайно, 3 пар введення-виведення недостатньо, щоб повністю визначити як матрицю 5x5. $L$ $L$

L х = у

$Lx = y$

x

$x$

L

$L$

L

$L$

L

$L$

Розглянемо, що означатиме інваріантність у часі з цієї точки зору. Якщо перетворення є лінійним та інваріантним за часом, то імпульсна характеристика завжди має однакову форму і зміщується в часі лише на ту ж величину, що і вхідний імпульс. Тож скажімо, що імпульсна характеристика для дорівнює 0 1 2 3 0, орієнтована зверху на вхідний імпульс (і, отже, непричинний). Матриця для лінійного часу інваріантної буде виглядати так: $L$ $L$

L = (\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & 2 \end{array})

$L = \left(\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & 2 \end{array}\right)$

Отже, щоб відповісти на перше запитання, вам просто потрібно побудувати достатньо двох стовпців, щоб побачити, що вони різні, щоб спростувати інваріантність часу. Прямий спосіб зробити це - припустити, що це інваріантність у часі та вивести протиріччя. Однак, щоб показати , що це стаціонарно вимагає більше інформації, тобто потрібно повністю вказати матрицю. Якщо вона не є інваріантною за часом, то для кожного зразка існує потенційно інша імпульсна реакція, а не одна, як згадували інші.

$L$

— Дерек Елкінс покинув SE
джерело

Здається, є образ, якого зараз немає, і отже, я можу щось пропустити.

$x_1[n-m]$ $y_1[n-m]$
Якщо вхідні сигнали обмежені смугою частот, а їх пропускна здатність менша, ніж ваша система, ви не зможете відновити імпульсну характеристику.
Ви зможете отримати лише відповідь на частотах, на яких вхід має енергію.
Це можна зробити за допомогою частотного аналізу входу та виходу.
Якщо у вашій системі дійсно LTI, зв'язок між входом і виходом встановлюється згортанням з імпульсною характеристикою.
Світло - це множення в частотній області, отже, ви можете легко отримати імпульсну відповідь (Знову лише, що на частотах вхід має енергію).

Оновлення

Це хороший випадок, щоб показати комутативну властивість згортки.

$y \left[ n \right] = \left( h \ast x \right) \left[ n \right] = \left( x \ast h \right) \left[ n \right]$

Як було написано вище, один із способів зробити це - записати задачу в матричній формі.

— Рой
джерело

Зображення повернулося зараз. Здається, у вас є дуже конкретне питання. Отже, моя відповідь, яка була набагато загальнішою, недостатньо зосереджена.

— Рой