Використання безперервних віршів дискретного вейвлет-перетворення в цифрових додатках

Я знайомий з великою частиною математичного передумови вейвлетів. Однак, впроваджуючи алгоритми на комп'ютері з вейвлетами, я менш впевнений у тому, чи слід використовувати безперервні чи дискретні вейвлети. Насправді все на комп’ютері, звичайно, дискретно, тому здається очевидним, що дискретні вейвлети - це правильний вибір для цифрової обробки сигналів. Однак, згідно з Вікіпедією, саме безперервне вейвлетське перетворення використовується в першу чергу при (цифровому) стисненні зображення, а також великій кількості інших заходів з цифрової обробки даних. Які плюси та мінуси слід враховувати при вирішенні питання про те, чи використовувати (приблизне) перетворення безперервної вейвлет замість (точного) дискретного вейвлет-перетворення для цифрового зображення чи обробки сигналів?

PS (Перевірка припущення тут) Я припускаю, що безперервні вейвлет-перетворення використовуються в цифровій обробці, просто приймаючи значення безперервного вейвлета в рівномірно розташованих точках і використовуючи отриману послідовність для вейвлет-розрахунків. Це правильно?

PPS Зазвичай вікіпедія досить точна щодо математики, тому я припускаю, що додатки у статті про неперервні вейвлетські перетворення насправді є додатками безперервної вейвлетської трансформації. Звичайно, він згадує деякі, які є спеціально CWT, тому чітко існує використання CWT у цифрових додатках.

Як уже заявив Мохаммед, терміни неперервних вейвлет-трансформацій (CWT) та дискретні вейвлет-трансформи (DWT) дещо вводять в оману. Вони відносяться приблизно як (безперервне) перетворення Фур'є (математичне інтегральне перетворення) до DFT (дискретна трансформація Фур'є).

Щоб зрозуміти деталі, добре переглянути історичний контекст. Трансформація вейвлет спочатку була введена в геофізику Морлетом і в основному була перетворенням Габора з Вікном, яке росте і скорочується разом із вибраною шкалою / частотою. Пізніше Дабчі (фізик-етт з Бельгії) зрозумів, що, вибираючи спеціальні ортогональні основи вейвлетів, нескінченно надлишковий CWT може бути критично вибірений у діадіальній сітці. З отриманого DWT відповідний повний CWT може бути отриманий шляхом обертання DWT з ядром, що відтворює відповідний вейвлет. Ядро, що відтворює, є CWT самого вейвлета.

Висновки Daubchies дали великий імпульс теорії вейвлетів на початку 80-х. Наступним великим результатом було те, що DWT можна обчислити дуже ефективно (це також іноді називають FWT [швидким WT]), використовуючи методики з теорії фільтрів, а саме квадратурні дзеркальні фільтри (QMF) разом з понижуючими фільтрами. Побудувавши спеціальні QMF, відповідні DWT можуть бути обчислені за допомогою фільтрації та пониження дискретизації, що є найсучаснішим алгоритмом для обчислення DWT сьогодні. Для обчислення DWT вам не потрібна функція масштабування, це лише детальна інформація про реалізацію процесу FWT.

Що стосується програми застосування, то CWT є більш ідеальним кандидатом для аналізу сигналу або часових рядів через його більш тонкозернисту роздільну здатність і зазвичай вибирається для більшості завдань (наприклад, виявлення сингулярності). DWT викликає більший інтерес у контексті швидких непотрібних перетворень. DWT має дуже хороше ущільнення енергії і, таким чином, є хорошим кандидатом для стиснення втрат та передачі сигналу.

Сподіваюся, що прояснили речі.

Дуже поширена, але прикрою помилка в галузі вейвлетів пов'язана з недоброякісною термінологією "Неперервні вейвлетські перетворення".

Перше, що спочатку: неперервна вейвлет-трансформація (CWT) та дискретна вейвлет-трансформація (DWT) - це точково-цифрові перетворення, які легко реалізуються на комп'ютері.

Різниця між "Неперервною" Трансформацією та "Дискретною" Трансформацією у вейвлет-контексті походить від:

1) Кількість проб, пропущених при перехресному співвідношенні сигналу зі своїм вейвлетом.

2) Кількість проб, пропущених під час розширення вейвлета.

3) CWT використовує лише вейвлет, тоді як DWT використовує як вейвлет, так і масштаб-пускання. (Не важливо для цієї дискусії, але тут для повноти).

Але не помиляйтесь - CWT, як і DWT, - це завжди дискретна, цифрова операція.

Нехай цей приклад ілюструє це: Розглянемо Хаар-вейвлет, [1 -1]. Скажімо, що ми хотіли зробити ДВТ за допомогою Хеалета Хейар. Таким чином, ви передаєте свій сигнал за допомогою вейвлета матері Хаар [1 -1], але лише при діадіальній затримці. Наприклад, скажімо, що ваш сигнал такий вектор:

Перший результат згортання DWT з Вашим вейвлетом Haar:

Наступний:

І нарешті останнє:

Чи щось вас вражає як дивно? Я сказав, прийміть згортку вашого сигналу за допомогою вейвлета - так як же я закінчую лише чотири значення? Це тому, що я пропускаю зразки, коли роблю згортки в DWT. Я спершу взяв [1 2], зробив крапковий виріб, а потім взяв [3 4]. Що сталося з [2 3]? Я пропустив це.

Коли цього не пропустити? Коли ви робите CWT. Якби ви зробили CWT, це було б "нормальною" цифровою згорткою вашого сигналу за допомогою вейвлета Хаар.

Друга річ - це спосіб розширити свою вейвлет. У верхньому прикладі вейвлет Хаар є [1 -1] для розкладання першого рівня. На другому рівні DWT Haar Wavelet стає [1 1 -1 -1]. Однак у CWT вейвлет Хаара другого рівня становить [1 0 -1]. Ще раз, у DWT, я не розширюю точку за точкою - у мене ніколи не буває вейвлет три довжини. Однак у CWT я переходжу від довжини 2, до довжини 3. У DWT я перейшов прямо від довжини 2, до довжини 4.

Це довге і коротке, сподіваюся, це допомогло.