Як полюси пов'язані з частотною характеристикою

Я нещодавно потрапив у помилку , вважаючи полюс s = 1, оскільки існує нескінченна відповідь на частоті 1. Тим не менш, відповідь була лише 1. Тепер ви можете отримати частотну характеристику, враховуючи полюси?

По-друге, теорія говорить, що система є стабільною, коли полюси знаходяться в лівій s-площині і, отже, в часі розпадаються. Але, зачекайте. Чи означає "полюс" нескінченну відповідь - зростання часу?

Нарешті, це правильне питання в DSP? IMO, D означає цифровий, тоді як s-домен є аналогом. Я не знаходжу теги перетворення s-plane чи Laplace для позначення моєї публікації.

оновлення Дякую за відповіді. Здається, що я отримав це за винятком однієї другорядної, але принципової речі - взаємозв'язку полюсів (і нулів) з частотою. В принципі, чому власні (або, як ви називаєте / оператор змінним) , пов'язаним з частотою? Це має бути якимось чином пов'язане з експоненціальним зростанням та трансформацією Лапласа. Я цілком розумію, що полюси бувають власними значеннями (особливо для дискретних рецидивів). Але, як це пов’язано з частотою?$s$

Я думаю, що насправді у вашому запитанні є 3 питання:

Q1: Чи можна отримати частотну характеристику за полюсами системи (лінійна інваріантність часу)?

Так, можна, до постійної. Якщо $s_{\infty,i}$ , $i=1,\ldots,N,$ є полюсами передавальної функції, ви можете написати передавальну функцію як

$$H(s)=\frac{k}{(s-s_{\infty,1})(s-s_{\infty,2})\ldots (s-s_{\infty,N})}\tag{1}$$

Зауважимо, що $s$ - складна змінна $s=\sigma+j\omega$ , а змінна частота $\omega$ відповідає уявній осі складної площини $s$ . Тепер нам потрібно отримати частотну характеристику від функції передачі. Для стабільних систем це можна зробити просто, оцінивши функцію передачі $H(s)$ для $s=j\omega$ . Отже, ви замінюєте $s$ на $j\omega$ в (1) і все закінчено. Однак зауважте, що це справедливо лише для стабільних систем (тобто, якщо область конвергенції $H(s)$ включає $j\omega$ -ось).

Q2: Як може стабільна система мати полюси?

Як ви вже знаєте, для причинно-наслідкових і стабільних систем усі полюси повинні лежати в лівій півплощині складної $s$ -площини . Дійсно, значення функції передачі $H(s)$ піде в нескінченність на полюсі $s=s_{\infty}$ , але частотна характеристика буде нормальною, тому що якщо всі полюси знаходяться в лівій півплощині, на полюсі немає полюсів $j\omega$ -ось (або праворуч від нього). Якщо дивитися на це у часовій області, то кожен (простий) полюс має внесок $e^{s_{\infty}t}$ у імпульсну реакцію системи. Якщо полюс розташований у лівій півплощині, це означає, що $s_{\infty}=\sigma_{\infty}+j\omega_{\infty}$ має від'ємну дійсну частину$\sigma_{\infty}<0$ . Так

$$e^{s_{\infty}t}=e^{\sigma_{\infty}}e^{j\omega_{\infty}}$$

є експоненціально демпфірованою функцією і не росте, а розпадається, тому що $\sigma_{\infty}<0$ .

Q3: Чи належить це питання тут?

Інші члени громади повинні судити, чи належить це питання тут. Я думаю, що це і є. Очевидно, що це безпосередньо не пов'язане з чистим DSP, але інженерам DSP дуже часто доводиться мати справу з аналоговими сигналами та системами до перетворення AD, тому вони також знають про теорію безперервної системи. По-друге, майже всі люди з ДСП (принаймні ті, хто має традиційну підготовку) зазнали певного впливу загальних теорій сигналів та систем, включаючи системи безперервного часу та дискретний час.

До речі, для систем дискретного часу ви отримуєте $\mathcal{Z}$ -трансформа замість перетворення Лапласа, і ваша складна змінна тепер називається $z$ замість $s$ . Змінна $D$ , яку ви згадали, визначається як $D=z^{-1}$ і в основному використовується в літературі з кодування. За своїм визначенням він позначає елемент затримки, тому $D$ означає "затримка" (а не "цифровий").

Якщо ви знаєте, що ліва півплощина складної $s$ -площини відбивається на область всередині одиничного кола складної $z$ -площини (тобто $|z|<1$ ), а $j\omega$ -ось відображається на одиничне коло $|z|=1$ , то майже все, що ви знаєте про один з двох доменів, легко перенесеться на інший домен.

Одне, що дійсно допомогло мені зрозуміти полюси і нулі, - це візуалізувати їх як амплітудні поверхні. Кілька таких сюжетів можна знайти в «Фільтр-грунтовці» . Деякі примітки:

• Напевно, простіше вивчити спочатку аналогову площину S, а після того, як ти зрозумієш її, а потім дізнаєшся, як працює цифрова площина Z.
• Нуль - точка, в якій посилення функції передачі дорівнює нулю.
• Полюс - точка, в якій посилення функції передачі нескінченне.
• Часто зустрічаються нулі або полюси в нескінченності, які не завжди включаються в описи функції передачі, але необхідні для їх розуміння.
• Частотна характеристика в площині S відбувається тільки по осі jω.
  • Початок становить 0 Гц або постійний струм, а частота відсічення фільтрів збільшується в радіальному напрямку від початку. Якщо поставити полюс у будь-якій точці вздовж кола на певній відстані від початку, то буде випускатися однакова частота відсічення.
  • Щоб збільшити частоту відсікання фільтра, рухайте полюси радіально назовні.
  • Щоб збільшити Q двоквадрового фільтра, перемістіть полюси по колу в бік осі jω, що підтримує постійну частоту відсічення, але збільшує ефект, який полюс надає на частотну характеристику, роблячи його більш "піковим".
  • 
• Якщо на осі jω з'являється нуль, то частотна характеристика знизиться до нуля на цій частоті; якщо ви введете синусоїду на цій частоті, вихід буде 0.
• Якщо на осі jω з'являється полюс, то імпульсна характеристика - це коливання; будь-який імпульс призведе до того, що він назавжди задзвонить з такою частотою. Імпульси мають кінцеву енергію, але реакція фільтра має нескінченну енергію, тому він має нескінченний посил.

Простий приклад - інтегратор H (s) = 1 / s:

• Ця функція дорівнює 0, коли s нескінченна, тому вона має нуль у нескінченності.
• Ця функція дорівнює нескінченності, коли s дорівнює нулю, тому вона має полюс у нулі.

Іншими словами, він має нескінченний коефіцієнт посилення при постійному струмі (крок відповіді інтегратора вічно зростає), а посилення зменшується зі збільшенням частоти:

Відсунувши полюс від початку, уздовж уявної осі в лівій руці площини S, посилення в 0 Гц на осі jw знову скінчено, і тепер у вас є фільтр низьких частот:

Я не скажу повне відображення від полюсів (1) / нулів (0) до частотної відповіді, але я думаю, що можу пояснити зв’язок між частотою і нулем / нескінченним відгуком, чому у вас є нескінченна / нульова відповідь на тобто те, що e - j w має відношення до z .$e^{-jw}=z_\text{zero/pole},$$e^{-jw}$$z$

Загальна форма лінійної системи - яка може вирішуватись в z-від як Y ( z ) = ( b 0 + b 1 z +

$$y_n+a_1y_{n-1}+a_2y_{n-2}+\cdots = b_0 x_n + b_1x_{n-1}+b_2x_{n-2}+\cdots,$$ $$Y(z) = {(b_0 + b_1 z + b_2 z^2+\cdots)\over(1+a_1z+a_2z^2+\cdots)}X(z) = H(z)X(z) = {(1-z_0z)(1-z_1z)\cdots \over(1-p_0z)(1-p_1z)\cdots}X(z).$$

Зрештою, ряд біноміальних добутків $(1-z_0 z)\cdots{1\over 1-p_0 z}$ можна розглядати як ряд систем, де перший вихід є входом для іншого.

Я хотів би проаналізувати вплив однополюсного і нульового. Виділимо перший нуль, вважаючи його функцією передачі так, що решта є вхідним сигналом, Y ( z ) = ( 1 - z 0 z ) Χ ( z ) , якому відповідає деякі y n = b 0 x n + b 1 x n - 1 . Візьмемо b $H(z)X(z)$$Y(z)=(1-z_0z)Χ(z),$$y_n = b_0x_n + b_1x_{n-1}.$.$b_0=b_1=1$для простоти. Я маю на увазі, що $y_n = x_n + x_{n-1}$

Що ми хочемо визначити вплив системи H (z) на гармонічний сигнал. Тобто вхід буде тестовим сигналом Відповідь буде y n = x n + x

$$x_n = e^{jwn}\overset{z}{\leftrightarrow} 1 + e^{jw}z + e^{2jw} z^2 + \cdots = 1/(1-e^{jw})= X(z).$$ $$y_n = x_n + x_{n-1}|_{x_n = e^{jwn}} = e^{jwn} + e^{jw(n-1)} = e^{jwn}(1+e^{-jw})$$ $1+e^{-jw}$$Y(z) = {(1+z)\over (1-e^{jw}z)} =(1+z)X(z)$.

Please note that $1+z$ basically says that output is sum of input signal plus shifted signal, since single $z$ stands for single clock delay in time domain.

Now, as explained in, $H(jw) = 1 + e^{-jw} = e^{-jw/2}(e^{jw/2}+e^{-jw/2}) =e^{-jw/2}2\cos(w/2)$. Cosine makes it to behave like low-pass filter

$$\begin{cases} w=0 & \Rightarrow &H(j0) = 1\cdot 2 \cos (0) = 2\\ w=\pi & \Rightarrow & H(j\pi) = e^{j\pi/2}2\cos(\pi/2) = 0 \end{cases}$$

It is also a good lesson that you get $2 cos \alpha = e^{i\alpha} + e^{-i\alpha}$ because you will supply the real signals rather than complex imaginary ones in real life.

LTI with impulse response = {1,-1} is $y_n=x_n -x_n|_{x_n=e^{jwn}} =e^{jwn}(1-e^{-jw})$ has transfer function of $H(jw) = (1-e^{-jw}) = e^{-jw/2}(e^{jw/2}-e^{-jw/2})=e^{-jw}2\sin(w/2)$, which has zero at $w=0$ since $sin(0)=0$ but it can be found from the frequency response

$$H(jw)=1-e^{-jw} = 0 \Rightarrow e^{-jw} = 1 = e^0 \Rightarrow w = 0.$$

After the textbooks, I can spot the surprising coincidence between transfer function $H(z) = 1\pm z$ and frequency response $H(jw)=1\pm e^{-jw}$. That is, z somehow corresponds to $e^{-jw}$, which is important for zero/pole analysis. I read it like

sine z-factor stands for a clock shift and $y_n = x_n \pm x_{n-1}=0$ means that next sample is $\pm$ previous one to get zero response, we need to have $1\pm z=0$ in front of X(z). But, the frequency domain basis functions $e^{jwn}$ evolve by multiplying current value $e^{jw(n-1)}$ with $e^{jw}$ every clock. Therefore, we have $e^{jwn}(1 \pm e^{-jw}) =0$ as condition for constant zero output. The latter $1\pm e^{-jw}$ matches perfectly with zero transfer function $1\pm z=0$.

In general, single-zero LTI is given by $y_n = b_0 x_n + b_1 x_{n-1}$ or

$$Y(z) = (b_0 + b_1 z)X(z) = (b_0+ b_1z)(1+x_1z+x_2z^2+\cdots) = b_0 + (b_0 x_1 + b_1 x_0)z + (b_0 x_2 + b_1 x_1)z^2 + \cdots.$$ When $b_0+b_1 z = 0$, i.e. when $z=-b_0/b_1,$ whereas frequency response is, $$y_n(x_n = e^{jwn}) = b_0 e^{jwn} + b_1 e^{jw(n-1)} = e^{jwn}(b_0+b_1 e^{-jw})= e^{jwn}b_0(1-z_0 e^{-jw}),$$

which goes to zero when $1-z_0 e^{-jw} = 0$ or $e^{-jw} = 1/z_0$, which matches the computation for $z$ if $z=e^{-jw}$. The only thing that bothers me is that fixed-amplitude complex exponential is not enough for the frequency (harmonic) basis. You cannot obtain arbitrary ratio $1/z_0= e^{-jw}$ by choosing appropriate frequency $w$, a decaying harmonic signal is needed for that. That is weird because I have heard that any signal can be represented as sum of (constant amplitude) sines and cosines. But, anyway, we see that system zero stands for relationship between adjacent samples of input signal. When they are right, the output is identically 0 and we can choose such such frequency $w$ so that zero $z = 1/z_0 = e^{-jw}.$

Now, what about the poles? Let's single out a single pole $a$. The system has a from of $y_n = a y_{n-1} + (x_n + x_{n-1} + \cdots)$, under assumption $y_0 = 0$, has z-transform of $Y(z) = X(z)/(1-az)$.

The feedback $a$ is equivalent to infinite impulse response ${1,a,a^2,\ldots} \overset{z}{\leftrightarrow} 1 + az + a^2z^2 + \cdots = 1/(1-az)$. It says that response is infinite when $z=1/a$. What does it mean if we apply the test signal

$$x_n=e^{jwn}\overset{z}{\leftrightarrow} X(z) = 1+e^{jw}z+e^{2jw}z^2+\cdots = 1/(1-e^{jw}z)$$ to our system? We'll get $Y(z)={1\over 1-az}{1\over 1-e^{jw}z},$ or $$y_n = e^{jwn} + ae^{jw(n-1)} +a^2e^{jw(n-2)} +\cdots = e^{jwn}(1+ae^{-jw} + a^2e^{-2jw} + \cdots) ={e^{jwn}\over 1-ae^{-jw}}.$$ That is, frequency response is $1/(1-ae^{-jw}),$ which goes to infinity when $e^{-jw}=1/a,$ the same as $z_{pole}$ above, $e^{-jw}=z_{pole}=1/a$. But again, you can not always arrive at the pole $1/a$ adjusting the frequency $w$ alone. The frequency basis functions must be decaying amplitude in general and look like $(ke^{jw})^n$.

That is, zeroes or poles of the transfer function $H(z)$ happen to match the zeroes and poles of frequency response $H(jw)$, which is really amazing. I noticed that this is related to the relation between adjacent samples, $e^{jwn}/e^{jw(n-1)} = e^{jw} = 1/z_{zero}$ in case of zeroes. The fact that $e^{jwn}$ scales exponentially over time, along with the system with feedback $a$, also seems to be the key for matching between $e^{jw}$ and $z_{poles}$. It also seems important that you cannot simply look for the appropriate frequency of $e^{jwn}$, the basis function must also have adjustable amplitude factor $k^n$.

I would be happy if anybody could explain the same more condensely or more crisply.