Що являє собою дво зразка CDF Росії

Я намагаюся зрозуміти, як отримати -значення для однобічного тесту Колмогорова-Смірнова , і я намагаюся знайти CDF для і у випадку двох зразків. Нижче в кількох місцях цитується як CDF для у випадку одного зразка:$p$$D^{+}_{n_{1},n_{2}}$$D^{-}_{n_{1},n_{2}}$$D^{+}_{n}$

$$p^{+}_{n}\left(x\right) = \text{P}\left(D^{+}_{n} \ge x | \text{H}_{0}\right) = x\sum_{j=0}^{\lfloor n\left(1-x\right)\rfloor}{ \binom{n}{j} \left(\frac{j}{n}+x\right)^{j-1}\left(1 - x - \frac{j}{n}\right)^{n-j}}$$

Крім того, whuber sez є дещо іншим формулюванням цього одноразового CDF (я замінюю на у своїй цитаті на відповідність моїй нотації тут):$x$$t$

Використовуючи інтегральне перетворення ймовірності, Дональд Кнут отримує їх (загальне) розподіл на p. 57 і вправа 17 Тома TAoCP 2. Цитую:

$$\left(D^{+}_{n}\le \frac{x}{\sqrt{n}}\right)=\frac{x}{n^{n}}\sum_{c\le k\le x}\binom{n}{k}\left(k-x\right)^{k}\left(x+n-k\right)^{n-k-1}$$

Це стосується однобічних гіпотез у випадку одного зразка, таких як: H , де - емпіричний CDF з , а - деякий CDF.$_{0}\text{: }F(x)-F_{0} \le 0$$F(x)$$x$$F_{0}$

Я думаю, що у цьому випадку - значення у зразку, і що є найбільшим цілим числом у . (Це так?)$x$$D^{+}_{n}$$\lfloor n\left(1-x\right)\rfloor$$n-nx$

Але що таке CDF для (або ), коли один має два зразки? Наприклад, коли H для емпіричних CDF і ? Як отримати ?$D^{+}_{n_{1},n_{2}}$$D^{-}_{n_{1},n_{2}}$$_{0}\text{: }F_{A}(x)-F_{B}(x) \le 0$$A$$B$$p^{+}_{n_{1},n_{2}}$

Гаразд, у мене зараз буде колотись. Критичні уявлення вітаються.

На сторінці 192 Гіббонс і Чакраборті (1992), посилаючись на Hodges, 1958, почати з малого зразка (точний?) CDF для двостороннього тесту (я обмінювати їх і позначення для і відповідно):$m,n$$d$$n_{1},n_{2}$$x$

$$\text{P}{\left(D_{n_{1},n_{2}}\ge x\right)} = 1 - \text{P}\left(D_{n_{1},n_{2}} \leq x\right)=1-\frac{A\left(n_{1},n_{2}\right)}{\binom{n_{1}+n_{2}}{n_{1}}}$$

Де утворюється за допомогою перерахування шляхів (монотонно зростаючи в та ) від початку початку до точки через графік із - заміною для —значення x -осі і y -осі і . Шляхи також повинні підкорятися обмеженню перебування в межах (де - значення статистичної проби Колмогорова-Смірнова):$A\left(n_{1},n_{2}\right)$$n_{1}$$n_{2}$$\left(n_{1},n_{2}\right)$$S_{m}(x)$$F_{n_{1}}(x)$$n_{1}F_{1}\left(x\right)$$n_{2}F_{2}\left(x\right)$$x$

$$\frac{n_{2}}{n_{1}} \pm \frac{\left(n_{1}+n_{2}\right)x}{\binom{n_{1}+n_{2}}{n_{1}}}$$

Нижче наведено їх зображення. Малюнок 3.2. Прикладає приклад для з 12 таких шляхів:$A(3,4)$

Гіббонс і Чакаборті продовжують говорити, що одностороння -значення отримується за допомогою цього ж графічного методу, але лише з нижньою межею для і тільки верхня для .$p$$D^{+}_{n_{1},n_{2}}$$D^{-}_{n_{1},n_{2}}$

Ці невеликі вибіркові підходи тягнуть за собою алгоритми перерахування контурів та / або співвідношення рецидивів, що, безсумнівно, робить бажаними асимптотичні розрахунки. Гіббони та Чакраборті також відзначають обмежуючі CDF як та наближаються до нескінченності, :$n_{1}$$n_{2}$$D_{n_{1},n_{2}}$

$$\lim_{n_{1},n_{2}\to \infty}\text{P}\left(\sqrt{\frac{n_{1}n_{2}}{n_{1}+n_{2}}}D_{n_{1},n_{2}} \le x\right) = 1 - 2\sum_{i=1}^{\infty}{\left(-1\right)^{i-1}e^{-2i^{2}x^{2}}}$$

І вони дають обмежуючий CDF (або ) як:$D^{+}_{n_{1},n_{2}}$$D^{-}_{n_{1},n_{2}}$

$$\lim_{n_{1},n_{2}\to \infty}\text{P}\left(\sqrt{\frac{n_{1}n_{2}}{n_{1}+n_{2}}}D^{+}_{n_{1},n_{2}} \le x\right) = 1 - e^{-2x^{2}}$$

Оскільки і суворо негативні, CDF може приймати лише ненульові значення більше :$D^{+}$$D^{-}$$[0,\infty)$

Список літератури
Гіббонс, Дж. Д. та Чакраборті, С. (1992). Непараметричні статистичні умовиводи . Marcel Decker, Inc., 3-е видання, перероблене та розширене видання.

Ходжес, Дж. Л. (1958). Вірогідність значущості двопробного тесту Смірнова. Arkiv för matematik . 3 (5): 469--486.