Достатність або недостатність

Розглянемо випадковий зразок де - iid випадкові величини, де . Перевірте, чи є достатньою статистикою для . $\{X_1,X_2,X_3\}$ $X_i$ $Bernoulli(p)$ $p\in(0,1)$ $T(X)=X_1+2X_2+X_3$ $p$

По-перше, як ми можемо знайти розподіл для ? Або його слід розбити на і тоді це буде слідувати за ? Я думаю, що не тому, що зауважте, що всі змінні тут не є незалежними. $(X_1+2X_2+X_3)$ $X_1+X_2+X_2+X_3$ $Bin(4,p)$

Крім того, якщо я використовую умову факторизації, просто розглядаючи спільний pmf тоді де . $(X_1,X_2,X_3)$ $f(X_1,X_2,X_3)=p^{x_1+x_2+x_3}(1-p)^{3-(x_1+x_2+x_3)}=[p^{t(x)}(1-p)^{3-t(x)}]p^{-x_2}(1-p)^{x_2}$ $t(x)=x_1+2x_2+x_3$

Це показує, що недостатньо. $T$

Але що робити, якщо я хочу слідувати визначенню і хочу застосувати щоб перевірити, чи це співвідношення не залежить від ? Тоді мені потрібно знати розподіл . Що ж тоді, розподіл ? $\dfrac{f(X|p)}{g(T(X)|p)}$ $p$ $g$ $T(X)=X_1+2X_2+X_3$

inference point-estimation sufficient-statistics

— Лендон Картер
джерело

Підказка: Вам не потрібно знати повний розподіл . Розглянемо, наприклад, випадок : який умовний розподіл ймовірності ?

T (X)

$T(X)$

T (X) = 2

$T(X)=2$

(X | T (X) = 2)

$(X|T(X)=2)$

— whuber

Якщо то . Отже, який залежить від , правильно?

T (X) = 2

$T(X)=2$

(X_{1}, X_{2}, X_{3}) \in {(1, 0, 1), (0, 1, 0)}

$(X_1,X_2,X_3)\in\{(1,0,1),(0,1,0)\}$

P (X | T (X) = 2) = p^{2} (1 - p) + p (1 - p)^{2} = p (1 - p)

$P(X|T(X)=2)=p^2(1-p)+p(1-p)^2=p(1-p)$

p

$p$

— Ландон Картер

Це правильна ідея - але я не розумію, чому ви додаєте дві ймовірності. Чи не в вектор ? (Якщо вам подобається, ви можете використовувати один і той же вид обчислень, щоб знайти повний розподіл (він може досягти лише значень ), але це вже не потрібно, чи не так? ))

X

$X$

T (X)

$T(X)$

0, 1, 2, 3, 4

$0,1,2,3,4$

— блукань

Так звичайно. Дякую! Отже, як тільки ми показуємо, що це співвідношення не залежить від принаймні один раз вибірки, тоді ми закінчили! Дякую. І ЩАСЛИЙ НОВИЙ РОК :)

p

$p$

— Landon Carter

Так, - вектор, але важливіше і ймовірність . Будь ласка, виправте мене, якщо я помиляюся.

X

$X$

X = (X_{1}, X_{2}, X_{3})

$X=(X_1,X_2,X_3)$

P (X | T (X) = 2) = P (T (X) = 2) = P (X = (1, 0, 1)) + P (X = (0, 1, 0))

$P(X|T(X)=2)=P(T(X)=2)=P(X=(1,0,1))+P(X=(0,1,0))$

— Ландон Картер

У мене було обговорення з "whuber", і, можливо, я отримав (правильний?) Підказку, щоб подивитися в будь-якій точці вибірки: оцінити в цій точці вибірки і перевірте, чи це співвідношення не залежить від параметра, в цьому випадку . $\dfrac{P(X=x)}{P(T(X)=T(x))}$ $x$ $p$

Тож візьмемо тоді . Отже, ми оцінюємо Тепер,Через властивість iidТакож $x=(1,0,1)$ $T(1,0,1)=2$ $\dfrac{P(X=(1,0,1))}{P(T(X)=2)}$

T (X) = 2 iff X \in {(1, 0, 1), (0, 1, 0)} .

$T(X)=2 \text{ iff } X\in\{(1,0,1),(0,1,0)\}.$

P (X = (1, 0, 1)) = p^{2} (1 - p) and P (X = (0, 1, 0)) = p (1 - p)^{2} .

$P(X=(1,0,1))=p^2(1-p)\text{ and }P(X=(0,1,0))=p(1-p)^2.$

P (T (X) = 2) = P (X = (1, 0, 1)) + P (X = (0, 1, 0)) = p (1 - p) .

$P(T(X)=2)=P(X=(1,0,1))+P(X=(0,1,0))=p(1-p).$

Значить, який явно залежить від , і тому не є достатньою статистикою.

\frac{P (X = (1, 0, 1))}{P (T (X) = 2)} = \frac{p^{2} (1 - p)}{p (1 - p)} = p

$\dfrac{P(X=(1,0,1))}{P(T(X)=2)}=\dfrac{p^2(1-p)}{p(1-p)}=p$

p

$p$

T

$T$

— Лендон Картер
джерело