Як генерувати рівномірно випадкові ортогональні матриці позитивного детермінанта?

У мене, мабуть, є дурне питання, щодо якого, мушу зізнатися, я розгублений. Уявіть повторне генерування рівномірно розподілених випадкових ортогональних (ортонормальних) матриць певного розміру . Іноді згенерована матриця має визначник а іноді - детермінант . (Є лише два можливі значення. З точки зору ортогонального обертання означає, що крім обертання є ще одне додаткове відображення.)$p$$1$$-1$$\det=-1$

Ми можемо змінити знак $\det$ ортогональної матриці з мінус на плюс, змінивши знак будь-якого одного (або, загалом, будь-якого непарного числа) стовпчика його.

Моє запитання: якщо враховувати, що ми генеруємо такі випадкові матриці неодноразово, чи будемо ми вводити деякі упередження в їх єдиний випадковий характер, якщо кожен раз, коли ми вирішимо повернути знак лише конкретного стовпця (скажімо, завжди 1-го чи завжди останнього)? Або ми повинні мати , щоб вибрати стовпець у випадковому порядку , щоб зберегти матриці являють собою випадкові рівномірно розподілені колекції?

Вибір стовпця не має значення: отриманий розподіл на спеціальних ортогональних матрицях $SO(n)$ все ще є рівномірним.

Я поясню це за допомогою аргументу, який очевидно поширюється на багато споріднених питань щодо рівномірного генерування елементів груп. Кожен крок цього аргументу є тривіальним, не вимагаючи нічого, крім посилання на відповідні визначення або простий обчислення (наприклад, зауваження, що матриця $\mathbb{I}_1$ є ортогональною і самооберненою).

Аргумент - узагальнення звичної ситуації. Розглянемо задачу малювання позитивних дійсних чисел в відповідно до заданого безперервним розподілом . Це можна зробити, витягнувши будь-яке дійсне число з безперервного розподілу і заперечуючи результат, якщо це необхідно, щоб гарантувати позитивне значення (майже напевно). Для того, щоб цей процес мав розподіл , повинен мати властивість, яка$F$$G$$F$$G$

$$G(x) - G(-x) = F(x).$$

Найпростіший спосіб досягти цього, коли симетричний навколо так що , що тягне за собою : вся позитивна ймовірність щільність просто подвоюється, а всі негативні результати усуваються. Знайомий зв’язок між напів нормальним розподілом ( ) і нормальним розподілом ( ) є таким видом.$G$$0$$G(x) - 1/2 = 1/2 - G(-x)$$F(x) = 2G(x) - 1$$F$$G$

Далі група відіграє роль ненульових дійсних чисел (розглядається як мультипликативна група), а її підгрупа відіграє роль додатних дійсних чисел . Міра Хаара інваріантна під запереченням, тому коли вона "складена" від до , розподіл позитивних значень не змінюється . (На жаль, цей захід не може бути нормалізований до міри ймовірності - але це єдиний спосіб, коли аналогія руйнується.)$O(n)$$SO(n)$$\mathbb{R}_{+}$$dx/x$$\mathbb{R}-\{0\}$$\mathbb{R}_{+}$

Заперечення конкретного стовпця ортогональної матриці (коли її детермінанта від'ємна) є аналогом відмови від негативного дійсного числа для складання його на позитивну підгрупу. Більш загально, ви можете заздалегідь вибрати будь-яку ортогональну матрицю негативного детермінанта та використати її замість : результати були б однакові.$\mathbb{J}$$\mathbb{I}_1$

---

Хоча питання формулюється з точки зору генерації випадкових величин, воно справді задає питання про розподіли ймовірностей на матричні групи та . Зв'язок між цими групами описаний в ортогональній матриці$O(n, \mathbb{R}) = O(n)$$SO(n, \mathbb{R}) = SO(n)$

$$\mathbb{I}_1 = \pmatrix{-1 & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ldots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 1}$$

тому що заперечення першого стовпця ортогональної матриці означає право множення на . Зауважте, що і - це неперервне з'єднання$\mathbb X$$\mathbb{X}$$\mathbb{I}_1$$SO(n)\subset O(n)$$O(n)$

$$O(n) = SO(n) \cup SO(n)\,\mathbb{I}_1^{-1}.$$

Враховуючи простір ймовірностей визначений на , процес, описаний у питанні, визначає карту$(O(n), \mathfrak{S}, \mathbb{P})$$O(n)$

$$f:O(n)\to SO(n)$$

шляхом встановлення

$$f(\mathbb{X}) = \mathbb{X}$$

коли та$\mathbb{X}\in SO(n)$

$$f(\mathbb{X}) = \mathbb{X}\mathbb{I}_1$$

для .$\mathbb{X}\in SO(n)\,{\mathbb{I}_1}^{-1}$

Питання стосується генерування випадкових елементів у шляхом отримання випадкових елементів : тобто "проштовхування їх вперед" через для отримання . Потік створює простір ймовірностей з$SO(n)$$\omega\in O(n)$$f$$f_{*}\omega = f(\omega)\in SO(n)$$(SO(n), \mathfrak{S}^\prime, \mathbb{P}^\prime)$

$$\mathfrak{S}^\prime = f_{*}\mathfrak{S} = \{f(E)\,|\,E\subset\mathfrak{S}\}$$

і

$$\mathbb{P}^\prime(E) = (f_{*}\mathbb{P})(E) = \mathbb{P}(f^{-1}(E)) = \mathbb{P}(E \cup E\,\mathbb{I}_1)$$

для всіх .$E \subset \mathfrak{S}^\prime$

Припустимо, що правильне множення на є мірою збереженням, і зауваживши, що в будь-якому випадку , відразу випливає, що для всіх ,$\mathbb{I}_1$$E \cap E\,\mathbb{I}_1 = \emptyset$$E\in\mathfrak{S}^\prime$

$$\mathbb{P}^\prime(E) = \mathbb{P}(E\cup E\,\mathbb{I}_1^{-1}) = \mathbb{P}(E) + \mathbb{P}(E\,\mathbb{I}_1^{-1}) = 2\mathbb{P}(E).$$

Зокрема, коли є інваріантним при правильному множенні в (що саме означає "рівномірний"), очевидний факт, що та його обернена (що дорівнює ) є ортогональними засобами попереднього положення, демонструючи, що є рівномірним. Таким чином, не потрібно вибирати випадкову колонку для заперечення.$\mathbb{P}$$O(n)$$\mathbb{I}_1$$\mathbb{I}_1$$\mathbb{P}^\prime$