поріг розрахунку для мінімального класифікатора ризику?

Припустимо, два класи і мають атрибут і мають розподіл і . якщо ми маємо рівні до для наступної матриці витрат: $C_1$ $C_2$ $x$ $\cal{N} (0, 0.5)$ $\cal{N} (1, 0.5)$ $P(C_1)=P(C_2)=0.5$

$L= \begin{bmatrix} 0 & 0.5 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$

чому, - поріг класифікатора мінімальних ризиків (витрат)? $x_0 < 0.5$

Це мій приклад примітки, який я неправильно розумію (тобто, як досягнуто цей поріг?)

Правка 1: Я думаю, що для порогів коефіцієнта ймовірності ми можемо використовувати P (C1) / P (C2).

Редагувати 2: Я додаю з книги "Дуда" за шаблоном деякий текст про поріг. введіть тут опис зображення

— користувач153695
джерело

Для матриці витрат

L = [\begin{matrix} 0 & 0.5 \\ 1 & 0 \end{matrix}] \begin{matrix} c_{1} \\ c_{2} \end{matrix} prediction \begin{matrix} c_{1} & c_{2} \end{matrix} truth

$L= \begin{bmatrix} 0 & 0.5 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{matrix} c_1 \\ c_2 \end{matrix} \;\text{prediction} \\ \hspace{-1.9cm} \begin{matrix} c_1 & c_2 \end{matrix} \\ \hspace{-1.9cm}\text{truth}$

втрата передбачення класу коли істинність класу становить , а вартість прогнозування класу коли істинність класу становить . Для правильних прогнозів немає витрат, . Тоді умовний ризик для прогнозування будь-якого класу є $c_1$ $c_2$ $L_{12} = 0.5$ $c_2$ $c_1$ $L_{21} = 1$ $L_{11} = L_{22} = 0$ $R$ $k$

\begin{aligned} R (c_{1} | x) & = L_{11} Pr (c_{1} | x) + L_{12} Pr (c_{2} | x) = L_{12} Pr (c_{2} | x) \\ R (c_{2} | x) & = L_{22} Pr (c_{2} | x) + L_{21} Pr (c_{1} | x) = L_{21} Pr (c_{1} | x) \end{aligned}

$\begin{align} R(c_1|x) &= L_{11} \Pr (c_1|x) + L_{12} \Pr (c_2|x) = L_{12} \Pr (c_2|x) \\ R(c_2|x) &= L_{22} \Pr (c_2|x) + L_{21} \Pr (c_1|x) = L_{21} \Pr (c_1|x) \end{align}$

Для того, щоб мінімізувати ризик / збиток, ви прогнозуєте якщо вартість від помилки цього (це втрата неправильного прогнозу в рази, ніж задня ймовірність помилки прогнозу ) менша, ніж вартість помилкового прогнозування альтернативи, $c_1$ $L_{12} \Pr (c_2|x)$

\begin{aligned} L_{12} Пр (c_{2} | х) & < L_{21} Пр (c_{1} | х) \\ L_{12} Пр (х | c_{2}) Пр (c_{2}) & < L_{21} Пр (х | c_{1}) Пр (c_{1}) \\ \frac{L_{12} Пр (c_{2})}{L_{21} Пр (c_{1})} & < \frac{Пр (х | c_{1})}{Пр (х | c_{2})} \end{aligned}

$\begin{align} L_{12} \Pr (c_2|x) &< L_{21} \Pr (c_1|x) \\ L_{12} \Pr (x|c_2) \Pr (c_2) &< L_{21} \Pr (x|c_1) \Pr (c_1) \\ \frac{L_{12} \Pr (c_2)}{L_{21} \Pr (c_1)} &< \frac{\Pr (x|c_1)}{ \Pr (x|c_2)} \end{align}$ де другий рядок використовує правило Байєса . За умови рівних попередніх ймовірностей ви отримуєте

Pr (c_{2} | x) \propto Pr (x | c_{2}) Pr (c_{2})

$\Pr (c_2|x) \propto \Pr (x|c_2) \Pr (c_2)$

Pr (c_{1}) = Pr (c_{2}) = 0.5

$\Pr (c_1) = \Pr (c_2) = 0.5$

\frac{1}{2} < \frac{Пр (х | c_{1})}{Пр (х | c_{2})}

$\frac{1}{2} < \frac{\Pr (x|c_1)}{ \Pr (x|c_2)}$

тому ви вирішите класифікувати спостереження, оскільки коефіцієнт ймовірності перевищує цей поріг. Тепер мені незрозуміло, чи хотіли ви знати "найкращий поріг" з точки зору коефіцієнтів ймовірності чи з точки зору атрибута . Відповідь змінюється відповідно до функції витрат. Використання Гаусса в нерівності з та , , $c_1$ $x$ $\sigma_1 = \sigma_2 = \sigma$ $\mu_1 = 0$ $\mu_2 = 1$

\begin{aligned} \frac{1}{2} & < \frac{\frac{1}{\sqrt{2 π} σ} досвід [- \frac{1}{2 σ^{2}} (х - {мк}_{1})^{2}]}{\frac{1}{\sqrt{2 π} σ} досвід [- \frac{1}{2 σ^{2}} (х - {мк}_{2})^{2}]} \\ журнал (\frac{1}{2}) & < журнал (\frac{1}{\sqrt{2 π} σ}) - \frac{1}{2 σ^{2}} (х - 0)^{2} - [журнал (\frac{1}{\sqrt{2 π} σ}) - \frac{1}{2 σ^{2}} (х - 1)^{2}] \\ журнал (\frac{1}{2}) & < - \frac{х^{2}}{2 σ^{2}} + \frac{х^{2}}{2 σ^{2}} - \frac{2 х}{2 σ^{2}} + \frac{1}{2 σ^{2}} \\ \frac{х}{σ^{2}} & < \frac{1}{2 σ^{2}} - журнал (\frac{1}{2}) \\ х & < \frac{1}{2} - журнал (\frac{1}{2}) σ^{2} \end{aligned}

$\begin{align} \frac{1}{2} &< \frac{\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp \left[ -\frac{1}{2\sigma^2}(x-\mu_1)^2 \right]}{\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp \left[ -\frac{1}{2\sigma^2}(x-\mu_2)^2 \right]} \\ \log \left(\frac{1}{2}\right) &< \log \left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\right) -\frac{1}{2\sigma^2}(x-0)^2 - \left[ \log \left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\right) -\frac{1}{2\sigma^2}(x-1)^2 \right] \\ \log \left(\frac{1}{2}\right) &< -\frac{x^2}{2\sigma^2} + \frac{x^2}{2\sigma^2} - \frac{2x}{2\sigma^2} + \frac{1}{2\sigma^2} \\ \frac{x}{\sigma^2} &< \frac{1}{2\sigma^2} - \log \left(\frac{1}{2}\right) \\ x &< \frac{1}{2} - \log \left(\frac{1}{2}\right) \sigma^2 \end{align}$ таким чином, поріг передбачення в

x

$x$ оскільки пошук можна досягти, лише якщо втрати від помилкових прогнозів однакові, тобто оскільки тільки тоді ви можете мати і ви отримаєте .

L_{12} = L_{21}

$L_{12} = L_{21}$

\log (\frac{L_{12}}{L_{21}}) = \log (1) = 0

$\log \left( \frac{L_{12}}{L_{21}} \right) = \log (1) = 0$

x_{0} < \frac{1}{2}

$x_0 < \frac{1}{2}$

— Енді
джерело

Приємна відповідь, але розгубила мене! якщо ви хочете вибрати або , який з них правильний?

x_{0} = 0.5

$x_0=0.5$

x_{0} < 0.5

$x_0<0.5$

— користувач153695

Тож прямо на межі рішення ви не можете точно сказати, чи слід спостерігати в одному чи другому класі (тому що саме на межі). Тож вибираючи, чи слід спостерігати, щоб був у 1 класі, якщо або залежить від вас. З достатньо великими зразками це повинно статися для дуже небагатьох спостережень, тому на межі це буде мати значення посліду для вашого результату.

x_{0} = 0.5

$x_0=0.5$

i

$i$

x_{0} \leq 0.5

$x_0 \leq 0.5$

x_{0} < 0.5

$x_0 < 0.5$

— Енді

вся моя проблема, яка поставила йому щедрість до того, що мій проф. обчислено і не приймаю будь ласка, дивіться мою редакцію, про яку йдеться, я тонкий поріг повинен бути .

x_{0} < 0.5

$x_0<0.5$

x_{0} = 0.5

$x_0=0.5$

x_{0} < 0.5

$x_0<0.5$

— користувач153695

можливо 0,5-

— лн

@whuber спасибі, я цілком пропустив це, тому я почав з абсолютно неправильного кінця.

— Енді