Як обчислюється ANOVA для повторного проектування заходів: aov () vs lm () в R

У заголовку все сказано, і я розгублений. Далі виконується повторне вимірювання aov () в R, і виконує те, що я вважав еквівалентним викликом lm (), але вони повертають різні залишки помилок (хоча суми квадратів однакові).

Очевидно, що залишки та пристосовані значення з aov () є тими, які використовуються в моделі, оскільки їхні суми квадратів складаються з кожної моделі / залишкової суми квадратів, повідомлених у підсумку (my.aov). То які фактичні лінійні моделі застосовуються для повторного проектування заходів?

set.seed(1)
# make data frame,
# 5 participants, with 2 experimental factors, each with 2 levels
# factor1 is A, B
# factor2 is 1, 2
DF <- data.frame(participant=factor(1:5), A.1=rnorm(5, 50, 20), A.2=rnorm(5, 100, 20), B.1=rnorm(5, 20, 20), B.2=rnorm(5, 50, 20))

# get our experimental conditions
conditions <- names(DF)[ names(DF) != "participant" ]

# reshape it for aov
DFlong <- reshape(DF, direction="long", varying=conditions, v.names="value", idvar="participant", times=conditions, timevar="group")

# make the conditions separate variables called factor1 and factor2
DFlong$factor1 <- factor( rep(c("A", "B"), each=10) )
DFlong$factor2 <- factor( rep(c(1, 2), each=5) )

# call aov
my.aov <- aov(value ~ factor1*factor2 + Error(participant / (factor1*factor2)), DFlong)

# similar for an lm() call
fit <- lm(value ~ factor1*factor2 + participant, DFlong)

# what's aov telling us?
summary(my.aov)

# check SS residuals
sum(residuals(fit)^2)       # == 5945.668

# check they add up to the residuals from summary(my.aov)
2406.1 + 1744.1 + 1795.46   # == 5945.66

# all good so far, but how are the residuals in the aov calculated?
my.aov$"participant:factor1"$residuals

#clearly these are the ones used in the ANOVA:
sum(my.aov$"participant:factor1"$residuals ^ 2)

# this corresponds to the factor1 residuals here:
summary(my.aov)


# but they are different to the residuals reported from lm()
residuals(fit)
my.aov$"participant"$residuals
my.aov$"participant:factor1"$residuals
my.aov$"participant:factor1:factor2"$residuals

Один з способів думати про це, щоб розглядати ситуацію як 3-факторні між суб'єктами ANOVA з крапельницею participant, factor1, factor2і розміром осередку 1. anova(lm(value ~ factor1*factor2*participant, DFlong))вираховує все SS для всіх ефектів в цьому 3-смугової ANOVA (3 основних ефекти, 3 взаємодії першого порядку, 1 взаємодія другого порядку). Оскільки в кожній комірці є лише 1 людина, повна модель не має помилок, і вищезазначений виклик не anova()може обчислити F-тести. Але СС такі ж, як і у 2-факторних в рамках проектування.

Як anova()насправді обчислювати SS для ефекту? За допомогою послідовних порівнянь моделі (тип I): вона відповідає обмеженій моделі без ефекту, про яку йдеться, і необмеженій моделі, яка включає цей ефект. СС, пов'язаний з цим ефектом, є різницею помилок SS між обома моделями.

# get all SS from the 3-way between subjects ANOVA
anova(lm(value ~ factor1*factor2*participant, DFlong))

dfL <- DFlong   # just a shorter name for your data frame
names(dfL) <- c("id", "group", "DV", "IV1", "IV2")   # shorter variable names

# sequential model comparisons (type I SS), restricted model is first, then unrestricted
# main effects first
anova(lm(DV ~ 1,      dfL), lm(DV ~ id,         dfL))  # SS for factor id
anova(lm(DV ~ id,     dfL), lm(DV ~ id+IV1,     dfL))  # SS for factor IV1
anova(lm(DV ~ id+IV1, dfL), lm(DV ~ id+IV1+IV2, dfL))  # SS for factor IV2

# now first order interactions
anova(lm(DV ~ id+IV1+IV2, dfL), lm(DV ~ id+IV1+IV2+id:IV1,  dfL))  # SS for id:IV1
anova(lm(DV ~ id+IV1+IV2, dfL), lm(DV ~ id+IV1+IV2+id:IV2,  dfL))  # SS for id:IV2
anova(lm(DV ~ id+IV1+IV2, dfL), lm(DV ~ id+IV1+IV2+IV1:IV2, dfL))  # SS for IV1:IV2

# finally the second-order interaction id:IV1:IV2
anova(lm(DV ~ id+IV1+IV2+id:IV1+id:IV2+IV1:IV2,            dfL),
      lm(DV ~ id+IV1+IV2+id:IV1+id:IV2+IV1:IV2+id:IV1:IV2, dfL))

Тепер перевіримо ефект SS, пов'язаний з взаємодією id:IV1, віднімаючи помилку SS необмеженої моделі від помилки SS обмеженої моделі.

sum(residuals(lm(DV ~ id+IV1+IV2,        dfL))^2) -
sum(residuals(lm(DV ~ id+IV1+IV2+id:IV1, dfL))^2)

Тепер, коли у вас є всі "сирі" ефекти SS, ви можете створити тести всередині предметів, просто вибравши правильний термін помилки, щоб перевірити SS на ефект. Напр., Протестуйте ефект SS factor1на предмет впливу взаємодії SS participant:factor1.

Для відмінного ознайомлення з підходом порівняння моделі я рекомендую Maxwell & Delaney (2004). Проектування експериментів та аналіз даних.