Повторні заходи ANOVA: що таке нормальність?

Мене бентежить припущення про нормальність у повторних заходах ANOVA. Зокрема, мені цікаво, яку саме норму слід точно задовольняти. Читаючи літературу та відповіді на резюме, я зіткнувся з трьома різними словами цього припущення.

Залежну змінну в межах кожної (повторної) умови слід розподіляти нормально.

Часто зазначається, що rANOVA має ті самі припущення, що і ANOVA, плюс сферичність. Це твердження в статистиці Field's Discovering , а також у статті Вікіпедії на цю тему та тексті Лоурі .
Залишки (різниці між усіма можливими парами?) Повинні розподілятися нормально.

Я знайшов це твердження у кількох відповідях на резюме ( 1 , 2 ). За аналогією rANOVA з парним t-тестом , це також може здатися інтуїтивно зрозумілим.
Мультиваріантну нормальність слід задовольняти.

Вікіпедія та це джерело згадують про це. Також я знаю, що rANOVA можна замінити на MANOVA, що може заслужити цю претензію.

Ці еквіваленти є якось? Я знаю, що багатоваріантна нормальність означає, що будь-яка лінійна комбінація DV звичайно розподіляється, тому 3. природно міститиме 2. якщо я правильно розумію останні.

Якщо це не те саме, яке "справжнє" припущення rANOVA? Чи можете ви надати довідку?

Мені здається, найбільше підтримує перша претензія. Однак це не узгоджується з відповідями, які зазвичай надаються тут.

Лінійні змішані моделі

Завдяки натяку @ утобі, я тепер розумію, як rANOVA можна переробити як лінійну змішану модель. Зокрема, для моделювання того, як кров'яний тиск змінюється з часом, я б моделював очікуване значення як: де - вимірювання артеріального тиску, середня кров тиск -го суб'єкта, і як -й раз вимірювали -му суб'єкту,

E [y_{i j}] = a_{i} + b_{i} t_{i j},

$\mathrm{E}\left[y_{ij}\right]=a_{i}+b_i t_{ij},$

y_{i j}

$y_{ij}$

a_{i}

$a_{i}$

i

$i$

t_{i j}

$t_{ij}$

j

$j$

i

$i$

b_{i}

$b_i$ що означає, що зміна артеріального тиску також є різною для кожного суб'єкта. Обидва ефекти вважаються випадковими, оскільки вибірка випробовуваних є лише випадковою підгрупою населення, яка становить першочерговий інтерес.

Нарешті, я спробував подумати про те, що це означає для нормальності, але мало успіху. Перефразовуючи McCulloch і Searle (2001, стор. 35. Eq. (2.14)):

\begin{aligned} E [y_{i j} | a_{i}] & = a_{i} \\ y_{i j} | a_{i} & \sim i n d e p . N (a_{i}, σ^{2}) \\ a_{i} & \sim i . i . d . N (a, σ_{a}^{2}) \end{aligned}

$\begin{align} \mathrm{E}\left[y_{ij}|a_i\right] &= a_i \\[5pt] y_{ij}|a_i &\sim \mathrm{indep.}\ \mathcal{N}(a_i,\sigma^2) \\[5pt] a_i &\sim \mathrm{i.i.d.}\ \mathcal{N}(a,\sigma_a^2) \end{align}$

Я розумію, що це означає

4. Дані кожної людини потрібно розповсюджувати нормально, але це нерозумно перевіряти за допомогою кількох часових моментів.

Я вважаю, що це означає третій вираз

5. Середні показники окремих предметів зазвичай розподіляються. Зауважте, що це ще дві чіткі можливості, окрім вищезгаданих трьох.

McCulloch, CE & Searle, SR (2001). Узагальнені, лінійні та змішані моделі . Нью-Йорк: John Wiley & Sons, Inc.

— Фато39
джерело

просто, щоб дати вам підказку. Ви можете вказати модель rANOVA з точки зору лінійної змішаної моделі (LMM). Як тільки у вас є LMM, ви відразу бачите мається на увазі припущення про нормальність. Дивіться тут ( eu.wiley.com/WileyCDA/WileyTitle/productCd-0470073713.html ) про деякі теорії ЛММ

— утобі

Дякую, @utobi, за надану довідку! Дійсно, я вивчив перші кілька розділів, але не зміг зрозуміти відповіді на моє запитання. Я оновив його, щоб відобразити обмежений прогрес, який я досяг.

— Фато39

Це здається мені ідеально хорошим питанням. Я голосую, щоб залишити відкритим.

— gung - Відновіть Моніку

a_{i}

$a_i$

σ_{a}^{2}

$\sigma_a^2$

Це найпростіша модель повторних заходів ANOVA, якщо ми трактуємо її як універсальну модель:

y_{i t} = a_{i} + b_{t} + ϵ_{i t}

$y_{it} = a_{i} + b_{t} + \epsilon_{it}$

$i$ $t$ $y_{it}$ $a_{i}$ $b_{t}$ $\epsilon_{it}$

$a_{i}$ $F$ $b_{1}=...=b_{t}=0$

$F$

ϵ_{i t} \sim N (0, σ) these errors are normally distributed and homoskedastic

$\begin{equation} \epsilon_{it}\sim\mathcal{N}(0,\sigma)\quad\text{these errors are normally distributed and homoskedastic} \end{equation}$

$F$

Якщо ви хочете ставитися до повторних заходів ANOVA як до багатоваріантної моделі, припущення щодо нормальності можуть бути різними, і я не можу розширити їх за межами того, що ви і я бачили у Вікіпедії.

— Гетероскедастичний Джим
джерело

Пояснення нормальності повторного вимірювання ANOVA можна знайти тут:

Розуміння припущень ANOVA для повторного вимірювання для правильної інтерпретації результатів SPSS

$3 \rightarrow 1$ $3 \rightarrow 2$ $5$

— Федеріко Тедескі
джерело

Федеріко, дякую за вашу відповідь. Мені було відомо про це пояснення (див. Мою точку № 2 та перше посилання на CV, на яке посилається там). Хоча я ціную якість відповідей на резюме, я дійшов до різних (суперечливих?) Відповідей на моє запитання під час консультацій з різними джерелами. Тому я вважаю за краще джерело, яке б чітко чи категорично вирішувало ті нюанси, про які я згадував у своїх п'яти пунктах вище.

— Фато39