Яка дисперсія максимуму вибірки?

Я шукаю межі на дисперсію максимуму набору випадкових змінних. Іншими словами, я шукаю формули закритої форми для , такі, що де є фіксованим набір випадкових величин з кінцевими значеннями та дисперсіями . $B$

Var (max_{i} X_{i}) \leq B,

$\mbox{Var}(\max_i X_i) \leq B \enspace,$

X = {X_{1}, \dots, X_{M}}

$X = \{ X_1, \ldots, X_M \}$

M

$M$

μ_{1}, \dots, μ_{M}

$\mu_1, \ldots, \mu_M$

σ_{1}^{2}, \dots, σ_{M}^{2}

$\sigma_1^2, \ldots, \sigma_M^2$

Я можу зробити висновок, що

Var (max_{i} X_{i}) \leq \sum_{i} σ_{i}^{2},

$\mbox{Var}(\max_i X_i) \leq \sum_i \sigma_i^2 \enspace,$ але ця межа здається дуже

. Числовий тест, схоже, вказує на те, що

B = max_{i} σ_{i}^{2}

$B = \max_i \sigma_i^2$ може бути можливістю, але мені це не вдалося довести. Будь-яка допомога вдячна.

variance bounds maximum

— Петро
джерело

(Ви хочете припустити, що

X_{i}

$X_i$ є незалежними?) Гіпотеза правдоподібна, але, здається, помилкова. Наприклад, зробіть кілька випробувань, де

X_{i}

$X_i$ є iid з CDF

1 - x^{1 - s}

$1-x^{1-s}$ ,

1 \leq x \leq \infty

$1\le x\le \infty$ ,

s > 3

$s\gt 3$ . Дисперсія їх максимальні, по відношенню до їх загальної дисперсії, необмежено зростає при

M

$M$ зростає.

— whuber

@whuber Спасибі, це пояснює, чому я не зміг довести цю гіпотезу :) Мені справді цікавий випадок, коли незалежні. Просто для уточнення мене найбільше цікавлять загальні межі, які використовують лише перші два моменти. Я не впевнений, чи існують більш чіткі загальні межі, ніж загальна дисперсія.

X_{i}

$X_i$

— Пітер

Я мушу зазначити, що ваша обмежена сума (якщо припустити, що вона правильна - було б непогано побачити ескіз доказу) є тісною. Наприклад, нехай підтримується на інтервалі з відхиленнями, що не перевищують і підтримується на . Тоді як, з відхиленням , але нерівність можна посилити на скільки завгодно, зменшуючи .

X_{2}, \dots, X_{M}

$X_2,\ldots,X_M$

[- \infty, a]

$[-\infty, a]$

ε^{2}

$\varepsilon^2$

X_{1}

$X_1$

[a, \infty]

$[a,\infty]$

max_{i} X_{i} = X_{1}

$\max_i{X_i}=X_1$

σ_{1}^{2} \leq σ_{1}^{2} + (M - 1) ε^{2}

$\sigma_1^2\le\sigma_1^2+(M-1)\varepsilon^2$

ε^{2}

$\varepsilon^2$

— whuber

Для даних iid екстремальна теорія значень забезпечує класи розподілів, до яких вибірка максимально сходиться, з певними умовами на хвостах оригінальних розподілів, що дають різні класи асимптотичних розподілів. Тож я сумніваюся, що вам вдасться отримати добру межу, виходячи лише з двох моментів, хоча я лише тангенціально знайомий з теорією.

— StasK

Відповіді:

Для будь-яких випадкових величин найкращим загальним обмеженим є як зазначено в початковому запитанні. Ось ескіз доведення: Якщо X, Y - IID, то . Враховуючи вектор можливо залежних змінних , нехай є незалежним вектором з однаковим спільним розподілом. Для будь-якого , ми зв'язали об'єднання, що , і інтегруючи цей від до виходить заявлена нерівність. $n$ $X_i$ $\newcommand{\Var}{\mathrm{Var}}\Var(\max X_i) \le \sum_i \Var(X_i)$ $E[(X-Y)^2] =2\Var(X)$ $(X_1,\ldots ,X_n)$ $(Y_1,\ldots ,Y_n)$ $r>0$ $P[ |\max_i X_i-\max_i Y_i|^2 >r] \le \sum_i P[ | X_i-Y_i|^2 >r]$ $dr$ $0$ $\infty$

Якщо - індикатори IID подій вірогідності , то є показником події ймовірності . Закріпивши і нехай прагне до нуля, отримаємо і . $X_i$ $\epsilon$ $\max X_i$ $n\epsilon+O(n^2 \epsilon^2)$ $n$ $\epsilon$ $\Var(X_i)=\epsilon-\epsilon^2$ $\Var(\max_i X_i)= n\epsilon +O(n^2\epsilon^2)$

— Юваль Перес
джерело

Питання про MathOverflow пов'язане з цим питанням.

Для IID випадкових величин найвища називається статистикою порядку . $k$

Навіть для випадкових величин IID Бернуллі дисперсія статистики будь-якого порядку, крім медіани, може бути більшою, ніж дисперсія сукупності. Наприклад, якщо дорівнює з ймовірністю і з ймовірністю і , то максимум дорівнює з вірогідністю , тому дисперсія сукупності становить а дисперсія максимум - приблизно . $X_i$ $1$ $1/10$ $0$ $9/10$ $M=10$ $1$ $\approx 1- 1/e$ $0.09$ $0.23$

Ось дві статті про відхилення статистики замовлень:

Yang, H. (1982) "Про дисперсії медіани та деякі інші статистичні дані порядку". Бик. Інст. Математика. Акад. Синиця, 10 (2) с. 197-204

Papadatos, N. (1995) "Максимальна дисперсія статистики замовлень". Енн. Інст. Статист. Математика, 47 (1) С. 185-193

Я вважаю, що верхня межа дисперсії максимуму у другій статті є . Вони вказують, що рівність не може відбутися, але будь-яке нижнє значення може виникнути для випадкових змінних IID Бернуллі. $M\sigma^2$

— Дуглас Заре
джерело