Оцініть дисперсію сукупності, якщо середня кількість населення відома

Я знаю, що ми використовуємо для оцінки дисперсії популяції. Я пам’ятаю відео з Академії Хана, де інтуїція полягала в тому, що наша передбачувана середня величина, ймовірно, трохи перевищує фактичну, тому відстані насправді будуть більшими, тому ми ділимо на менше ( замість ) щоб отримати більшу цінність, в результаті чого можна краще оцінити. І я пам’ятаю, що десь читав, що мені ця корекція не потрібна, якщо у мене є фактична середня сукупність замість . Тож я б оцінив Але я більше не можу його знайти. Це правда? Може хтось дасть мені вказівник?$\frac1{n-1}\sum\limits_i(x_i - \bar{x})^2$$x_i - \bar{x}$$n-1$$n$
$\mu$$\bar{x}$$\frac1{n}\sum\limits_i(x_i - \mu)^2$

Так, це правда. Мовою статистики ми б сказали, що якщо ви не маєте знань про кількість населення, то кількість

$$\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n \left(x_i-\bar{x} \right)^2$$

є неупередженим, що просто означає, що він в середньому вірно оцінює дисперсію населення . Але якщо ви знаєте, чисельність населення означає, що для цього немає необхідності використовувати оцінку - для цього служить - і корекція кінцевої вибірки, що йде разом з цим.$\bar{x}$

Насправді можна показати, що кількість

$$\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left(x_i-\mu \right)^2$$

є не тільки неупередженим, але і має меншу дисперсію, ніж кількість вище. Це досить інтуїтивно, оскільки частина невизначеності тепер була усунена. Тож ми використовуємо цю у цій ситуації.

Варто зазначити, що великі розміри вибірки оцінювачі будуть відрізнятися дуже мало, а отже, вони асимптотично еквівалентні .