Що таке автокореляція для випадкової прогулянки?

Здається, це дійсно високо, але це для мене контрсуєтивне. Може хтось, будь ласка, пояснить? Я дуже розгублений цим питанням і буду вдячний за детальне, проникливе пояснення. Заздалегідь дякую!

(Я написав це як відповідь на інший пост, який був позначений як дублікат цього, коли я складав його; я зрозумів, що опублікую його тут, а не викидаю. Схоже, це говорить зовсім схоже на те, що було відповідь, але достатньо різний, що хтось може щось із цього отримати.)

Випадкова прогулянка має вигляд$y_t = \sum_{i=1}^t \epsilon_i$

Зауважте, що$y_t = y_{t-1}+ \epsilon_t$

Отже .$\text{Cov}(y_t,y_{t-1})=\text{Cov}(y_{t-1}+ \epsilon_t,y_{t-1})=\text{Var}(y_{t-1})$

Також зауважте, що$\sigma^2_t=\text{Var}(y_t) = t\,\sigma^2_\epsilon$

Отже .$\text{corr}(y_t,y_{t-1})=\frac{\sigma_{t-1}^2}{\sigma_{t-1}\sigma_t} =\frac{\sigma_{t-1}}{\sigma_t}=\sqrt{\frac{t-1}{t}}=\sqrt{1-\frac{1}{t}}\approx 1-\frac{1}{2t}$

Що означає, що ви повинні побачити співвідношення майже 1, оскільки як тільки починає великі , і це майже те саме - відносна різниця між ними, як правило, досить мала.$t$$y_t$$y_{t-1}$

Ви можете переконатись у тому, що vs .$y_t$$y_{t-1}$

Тепер ми можемо бачити це дещо інтуїтивно - уявіть, що знизився до (як ми бачимо, це було в моєму моделюванні випадкової прогулянки зі стандартним нормальним рівнем шуму). Тоді буде досить близьким до ; це може бути або може бути але майже напевно, що він знаходиться в межах кількох одиниць . Отже, коли серія рухається вгору і вниз, сюжет vs майже завжди буде знаходитися в досить вузькому діапазоні лінії ... все ж, коли зростає, точки будуть охоплювати більше і більший розтяг уздовж цього - 20 y t - 20 - 22 - 18,5 - 20 y t y t - 1 y = x t y = x $y_{t-1}$$-20$$y_t$$-20$$-22$$-18.5$$-20$$y_t$$y_{t-1}$$y=x$$t$$y=x$лінія (спред по лінії збільшується з , але вертикальний спред залишається приблизно постійним); кореляція повинна підходити 1.$\sqrt{t}$

$(x_0, x_1, x_2, \ldots, x_n)$$(x_0, x_1, \ldots, x_{n-1})$$(x_1,x_2, \ldots, x_n)$.

$x_{i+1}$$x_i$$x_i$$x_0$$\sqrt{n}$$(x_i, x_{i+1})$$y=x\pm 1$$y=x$$\pm 1$$1$$(\sqrt{n}/2)^2 = n/4$$R^2$

$n=1000$$R^2$$1 - 4/n$

Ось Rкод, який створив зображення.

set.seed(17)
n <- 1e3
x <- cumsum((runif(n) <= 1/2)*2-1)          # Binomial random walk at x_0=0
rho <- format(cor(x[-1], x[-n]), digits=3)  # Lag-1 correlation

par(mfrow=c(1,2))
plot(x, type="l", col="#e0e0e0", main="Sample Path")
points(x, pch=16, cex=0.75,  col=hsv(1:n/n, .8, .8, .2))
plot(x[-n], x[-1], asp=1, pch=16, col=hsv(1:n/n, .8, .8, .2),
     main="Lag-1 Scatterplot",
     xlab="Current value", ylab="Next value")
mtext(bquote(rho == .(rho)))