Чи є нормальність спільності необхідною умовою, щоб сума нормальних випадкових величин була нормальною?

13

У коментарях після цієї моєї відповіді на відповідне запитання користувачі ssdecontrol і Glen_b запитали, чи потрібна спільна нормальність $X$ і $Y$ для підтвердження нормальності суми $X+Y$ ? Це спільне нормальність достатню кількість , звичайно ж , добре відомо. Це додаткове питання там не було розглянуте, і, мабуть, варто його розглянути самостійно.

Оскільки нормальність суглобів передбачає граничну нормальність, я запитую

Чи існують нормальні випадкові величини $X$ і $Y$ такі, що $X+Y$ є нормальною випадковою змінною, але $X$ і не $Y$ є спільно нормальними випадковими змінними?

Якщо для $X$ і $Y$ не вимагається нормальних розподілів, то легко знайти такі нормальні випадкові величини. Один приклад можна знайти в моїй попередній відповіді (посилання наведено вище). Я вважаю, що відповідь на висвітлене вище запитання - так, і розмістив (як я думаю, що) приклад як відповідь на це питання.

— Діліп Сарват
джерело

2

Як ви хочете боротися з виродженими розподілами? Наприклад, якщо

є стандартним нормальним, а

, то спільний розподіл

і

є виродженим нормальним розподілом, а

- нормальним нормальним.

X

$X$

Y = - 2 X

$Y=-2X$

X

$X$

Y

$Y$

X + Y

$X+Y$

— Брайан Борчерз

@BrianBorchers

і

це спільно нормальні випадкові величини, хоча розподіл вироджений, як ви кажете. Стандартне визначення спільної нормальності є те , що

і

є спільно нормальними , якщо

є нормальним для всіх виборів

. Тут,

X

$X$

Y = - 2 X

$Y = -2X$

X

$X$

Y

$Y$

a X + b Y

$aX+bY$

(a, b)

$(a,b)$

(a, b) = (0, 0)

$(a,b) = (0,0)$ це вироджений випадок, який, однак, називається звичайною випадковою змінною як ввічливість.

— Діліп Сарват

11

Нехай - iid . $U,V$ $N(0,1)$

Тепер перетворимо наступним чином: $(U,V) \to (X,Y)$

$U>0,V>0$ $X=\max(U,V)$ $Y = \min(U,V)$

Для інших квадрантів поверніть це відображення щодо походження.

Отримане двовимірне розподіл має вигляд (видно зверху):

$\hspace{1.5 cm}$

- фіолетовий являє собою регіони з подвоєною ймовірністю, а білі - не вірогідними. Чорні кола - це контури постійної щільності (скрізь по колу для , але всередині кожної кольорової області для ). $(U,V)$ $(X,Y)$

За симетрією і і є звичайними нормальними (дивлячись вертикальну лінію або уздовж горизонтальної лінії, є фіолетова точка для кожного білого, яку ми можемо вважати перекинутою по осі, горизонтальною або вертикальною лінією перетинає) $X$ $Y$
але явно не є двовимірним нормальним, і $(X,Y)$
$X+Y = U+V$ що є (еквівалентно, дивимось по лініях постійної і бачимо, що у нас є симетрія, аналогічна тій, яку ми обговорювали в 1., але цього разу про рядок) $\sim N(0,2)$ $X+Y$ $Y=X$

— Glen_b -Встановити Моніку
джерело

1

+1 і Прийняти; ця конструкція набагато приємніша за мою власну відповідь!

— Діліп Сарват

5

Розглянемо спільно неперервні випадкові величини з функцією щільності суглоба де позначає стандартну функцію нормальної щільності. $U, V, W$

\begin{aligned} (1) & f_{U, V, W} (u, v, w) = {\begin{cases} 2 ϕ (u) ϕ (v) ϕ (w) & if u \geq 0, v \geq 0, w \geq 0, \\ or if u < 0, v < 0, w \geq 0, \\ or if u < 0, v \geq 0, w < 0, \\ or if u \geq 0, v < 0, w < 0, \\ 0 & otherwise \end{cases} \end{aligned}

$\begin{align} f_{U,V,W}(u,v,w) = \begin{cases} 2\phi(u)\phi(v)\phi(w) & ~~~~\text{if}~ u \geq 0, v\geq 0, w \geq 0,\\ & \text{or if}~ u < 0, v < 0, w \geq 0,\\ & \text{or if}~ u < 0, v\geq 0, w < 0,\\ & \text{or if}~ u \geq 0, v< 0, w < 0,\\ & \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}\tag{1} \end{align}$

ϕ (\cdot)

$\phi(\cdot)$

Цілком очевидно , що і є залежними випадковими величинами. Зрозуміло також, що вони не є спільно нормальними випадковими величинами. Однак усі три пари є попарно незалежними випадковими змінними: насправді незалежними стандартними нормальними випадковими змінними (і, таким чином, попарно спільно нормальними випадковими змінними). Коротше кажучи, є прикладом попарно незалежних, але не взаємно незалежних нормальних випадкових величин. Дивіться цю відповідь мою для більш детальної інформації. $U, V$ $W$ $(U,V), (U,W), (V,W)$ $U,V,W$

Зауважте, що попарна незалежність дає нам, що і це нульові середні нормальні випадкові величини з відхиленням . Тепер визначимо і зазначимо, що - це також нульова середня нормальна випадкова величина з дисперсією . Також , і тому і залежать і корелюють випадкові величини. $U+V, U+W$ $V-W$ $2$

\begin{matrix} (2) & X = U + W, Y = V - W \end{matrix}

$X = U+W, ~Y = V-W \tag{2}$

X + Y = U + V

$X+Y = U+V$

2

$2$

cov (X, Y) = - var (W) = - 1

$\operatorname{cov}(X,Y) = -\operatorname{var}(W) = -1$

X

$X$

Y

$Y$

$X$ і - (корельовані) нормальні випадкові величини, які не є спільно нормальними, але мають властивість, що їх сума є нормальною випадковою змінною. $Y$ $X+Y$

По-іншому, спільна нормальність є достатньою умовою ствердження нормальності суми нормальних випадкових величин, але вона не є необхідною умовою.

Доведення того, що і не є спільно нормальними $X$ $Y$
Оскільки перетворення є лінійними, легко отримати це . Тому маємо, що Але має властивість, що його значення є ненульовим лише тоді, коли рівно один або всі три його аргументи є негативними. Тепер припустимо, що . Тоді має значення для $(U,V,W) \to (U+W, V-W, W) = (X,Y,W)$ $f_{X,Y,W}(x, y, w) = f_{U,V,W}(x-w,y+w,w)$

f_{X, Y} (x, y) = \int_{- \infty}^{\infty} f_{X, Y, W} (x, y, w) d w = \int_{- \infty}^{\infty} f_{U, V, W} (x - w, y + w, w) d w

$f_{X,Y}(x,y) = \int_{-\infty}^\infty f_{X,Y,W}(x,y,w)\,\mathrm dw = \int_{-\infty}^\infty f_{U,V,W}(x-w,y+w,w)\,\mathrm dw$

f_{U, V, W}

$f_{U,V, W}$

x, y > 0

$x, y > 0$

f_{U, V, W} (x - w, y + w, w)

$f_{U,V,W}(x-w,y+w,w)$

2 ϕ (x - w) ϕ (y + w) ϕ (w)

$2\phi(x-w)\phi(y+w)\phi(w)$

w \in (- \infty, - y) \cup (0, x)

$w \in (-\infty,-y) \cup (0,x)$ і дорівнює . Отже, для , Тепер і так, розширивши і зробивши певну перестановку інтегралів в , ми можемо записати де - нормальний випадковий змінна із середнім

0

$0$

x, y > 0

$x, y > 0$

\begin{matrix} (3) & f_{X, Y} (x, y) = \int_{- \infty}^{- y} 2 ϕ (x - w) ϕ (y + w) ϕ (w) d w + \int_{0}^{x} 2 ϕ (x - w) ϕ (y + w) ϕ (w) d w . \end{matrix}

$f_{X,Y}(x,y) = \int_{-\infty}^{-y} 2\phi(x-w)\phi(y+w)\phi(w)\,\mathrm dw + \int_0^x 2\phi(x-w)\phi(y+w)\phi(w)\,\mathrm dw.\tag{3}$

\begin{aligned} (x - w)^{2} + (y + w)^{2} + w^{2} & = 3 w^{2} - 2 w (x - y) + x^{2} + y^{2} \\ = \frac{w^{2} - 2 w (\frac{x - y}{3}) + {(\frac{x - y}{3})}^{2}}{1 / 3} - \frac{1}{3} (x - y)^{2} + x^{2} + y^{2} \end{aligned}

$\begin{align} (x-w)^2 + (y+w)^2 + w^2 &= 3w^2 -2w(x-y) + x^2 + y^2\\ &= \frac{w^2 - 2w\left(\frac{x-y}{3}\right) + \left(\frac{x-y}{3}\right)^2}{1/3} -\frac 13(x-y)^2 + x^2 + y^2 \end{align}$

2 ϕ (x - w) ϕ (y + w) ϕ (w)

$2\phi(x-w)\phi(y+w)\phi(w)$

(3)

$(3)$

\begin{matrix} (4) & f_{X, Y} (x, y) = g (x, y) [P {T \leq - y} + P {0 < T \leq x}] \end{matrix}

$f_{X,Y}(x,y) = g(x,y)\big[P\{T \leq -y\} + P\{0 < T \leq x\}\big] \tag{4}$

T

$T$

\frac{x - y}{3}

$\frac{x-y}{3}$ і дисперсія . Обидва терміни всередині квадратних дужок містять стандартний звичайний CDF з аргументами, які є (різними) функціями як і . Таким чином, є НЕ двовимірний нормальною щільністю навіть якщо обидва і є нормальними випадковими величинами, а їх сумою є нормальною випадковою величиною.

\frac{1}{3}

$\frac 13$

Φ (\cdot)

$\Phi(\cdot)$

x

$x$

y

$y$

f_{X, Y}

$f_{X,Y}$

X

$X$

Y

$Y$

Коментар: спільна нормальність і достатня для нормальності але це також передбачає набагато більше: є нормальним для всіх варіантів . Тут нам потрібно, щоб був нормальним лише для трьох варіантів , тобто де перші два примушують застосовувати часто ігноровані умова (див., наприклад, відповідь ), що (граничні) густини і повинні бути нормальними густинами, а третя говорить, що сума також повинна мати нормальну щільність. Таким чином, ми можемо $X$ $Y$ $X+Y$ $aX+bY$ $(a,b)$ $aX+bY$ $(a,b)$ $(1,0), (0,1), (1,1)$ $Y.H.$ $X$ $Y$ мати нормальні випадкові величини, які не є спільно нормальними, але сума яких є нормальною, оскільки нам не байдуже, що відбувається з іншими варіантами . $(a,b)$

— Діліп Сарват
джерело