Чи є дисперсія більш принциповим поняттям, ніж стандартне відхилення?

18

На цьому веб-сайті з психометрики я це прочитав

[A] та глибока дисперсія рівня є більш фундаментальним поняттям, ніж стандартне відхилення.

Сайт насправді не пояснює, чому дисперсія має бути більш фундаментальною, ніж стандартне відхилення, але це нагадало мені, що я читав деякі подібні речі на цьому сайті.

Наприклад, у цьому коментарі @ kjetil-b-halvorsen пише, що "стандартне відхилення добре для інтерпретації, звітування. Для розробки теорії відхилення краще".

Я відчуваю, що ці вимоги пов'язані між собою, але я не дуже їх розумію. Я розумію, що квадратний корінь вибіркової дисперсії не є об'єктивним оцінкою стандартного відхилення популяції, але, безумовно, має бути більше, ніж це.

Можливо, термін "фундаментальний" є занадто розпливчастим для цього сайту. У цьому випадку, можливо, ми можемо операціоналізувати моє запитання як запитання про те, чи є дисперсія важливішою за стандартне відхилення з точки зору розвиваючої статистичної теорії. Чому / чому ні?

variance standard-deviation

— user1205901 - Відновити Моніку
джерело

Хіба вони не те саме? Це як 1 + 1 те саме, що 2 * 1?

— SmallChess

2

Дисперсія - другий кумулянт,

. Стаття Вікіпедії про кумулянти повинна вражати будь-кого тим, наскільки вони природні та важливі, не тільки для вивчення випадкових змінних, але й фізики та комбінаторики. Властивість багатолінійності (що є основоположним для виконання обчислень), а також розширення кумулянтів до багатоваріантних розподілів не користуються стандартним відхиленням.

κ_{2}

$\kappa_2$

— whuber

16

Відповіді Роберта та Бея дають частину історії (тобто моменти, як правило, розглядаються як основні властивості розподілу, а умовно стандартне відхилення визначається з точки зору другого центрального моменту, а не навпаки), але в тій мірі, в якій ці речі дійсно фундаментальні, залежить частково від того, що ми розуміємо під терміном.

Не було б непереборної проблеми, наприклад, якби наші конвенції пішли іншим шляхом - ніщо не заважає нам умовно визначити якусь іншу послідовність величин замість звичних моментів, скажімо для (зауважимо, що $E[(X-\mu)^p]^{1/p}$ $p=1,2,3,...$ $\mu$ вписується як в послідовність моментів, так і в цей як перший додаток), а потім визначає моменти - і всі способи обчислення по відношенню до моментів - з точки зору них. Зауважимо, що всі ці величини вимірюються в оригінальних одиницях, що є однією перевагою перед моментами (які знаходяться в -й потужності вихідних одиниць і тому їх важче інтерпретувати). Це зробило б стандартне відхилення населення визначеною кількістю та дисперсією, визначеними в його термінах. $p$

Однак це зробило б такі величини, як функція, що генерує момент (або якась еквівалентна, що стосується нових величин, визначених вище), досить менш "природними", що зробило б дещо незграбніші (але деякі умовності трохи подібні). Є кілька зручних властивостей MGF, які не були б такими зручними, як інакше.

Більш базовим, на мій погляд (але пов'язаним з цим), є те, що існує ряд основних властивостей дисперсії , які зручніше, коли вони записуються як властивості дисперсії, ніж коли записуються як властивості стандартного відхилення (наприклад, дисперсія сум незалежних випадкові змінні - це сума дисперсій).

Ця добавка є властивістю, яку не поділяють інші заходи розсіювання, і вона має ряд важливих наслідків.

[Є аналогічні відносини між іншими кумулянтамі, так що це сенс , в якому ми могли б визначити речі щодо моментів в цілому.]

Усі ці причини, мабуть, є або умовами, або зручністю, але певною мірою це питання точки зору (наприклад, з деяких точок зору моменти є досить важливими величинами, а з інших - це не все так важливо). Можливо, біт "на глибокому рівні" повинен мати на увазі не що інше, як "kjetil" при розробці теорії ".

Я погодився б із думкою kjetil, яку ви порушили у своєму питанні; певною мірою ця відповідь є лише хвилеподібним обговоренням цього.

— Glen_b -Встановити Моніку
джерело

Я б сказав, що вони стоять в рівній мірі, кожен зі своїм набором супутніх зручностей.

— JM не є статистиком

2

Варіантність визначається першим і другим моментами розподілу. На відміну від цього, стандартне відхилення більше нагадує "норму", ніж момент. Моменти є основними властивостями розподілу, тоді як норми - це лише способи розмежування.

2

Дисперсія є більш фундаментальною, ніж стандартне відхилення, оскільки стандартне відхилення визначається як "квадратний корінь дисперсії", наприклад, його визначення повністю залежить від дисперсії.

З іншого боку, варіація визначається - абсолютно незалежно - як "очікування різниці у квадраті між зразком та середнім".

— Роберт де Грааф
джерело

3

Я б бачив це більше як звіт про те, як ми (часто) використовуємо терміни, наприклад, у навчанні, а не як роздуми про те, що є основним. Цілком можливо ввести стандартне відхилення, не згадуючи про відхилення (все-таки), і багато текстів і курсів це роблять саме так, як ви можете говорити про теорему Піфагора, не потребуючи спеціальних назв для величин у квадраті. Історично склалося, що в його статистичному сенсі термін відрізняється від стандартного відхилення, тому навіть ця форма слів була неможливою протягом декількох десятиліть.

— Нік Кокс

Мені стало відомо про стандартне відхилення, яке виникло як мітка перед дисперсією, намагаючись сформулювати відповідь на тепер видалений коментар Глена - тоді я подумав, що посилився той факт, що старіший термін зараз зазвичай визначається з точки зору нового терміна. твердження нового терміна про те, що вони є більш фундаментальними, а не послаблювали їх.

— Роберт де Грааф

1

Всілякі пояснення можна знайти. У своєму вступному викладанні SD (географам, не всі з яких сильні математично), я взагалі не використовую терміна дисперсія . Я швидко зазначу, що SD - це природна міра шкали для нормальних (гауссових) розподілів, як відстань між середнім значенням або перегином функції густини. Я підозрюю, що це більше для мого власного розваги та задоволення, ніж студентів.

— Нік Кокс

0

$n$ $X$ $\mathrm{Var}[X] = \sigma^2$ $S^2$ $\sigma^2$ $S$ $\sigma$

Е [S^{2}] = σ^{2}, Е [S] \neq σ,

$\mathrm{E}[S^2] = \sigma^2\,,\ \mathrm{E}[S]\neq \sigma\,,$

— StijnDeVuyst
джерело

2

n

$n$

n - 1

$n - 1$

V a r []

$\mathrm{Var}[]$

V a r [\sum_{i} X_{i}] = \sum_{i} V a r [X_{i}]

$\mathrm{Var}[\sum_i X_i] = \sum_i \mathrm{Var}[X_i]$

X_{i}

$X_i$

— StijnDeVuyst

1

Дійсно, добавка незалежних дисперсій є фундаментальною властивістю, але це не ваш аргумент.

— Нік Кокс

Можливо , що цікаво , що, як і в середньому, ви можете побудувати несмещенную оцінку дисперсії без вказівки конкретного розподілу (неупереджені оцінки стандартного відхилення розподілу по конкретним.)

— Scortchi - відновить Моніку