Кореляція між синусом і косинусом

Припустимо, рівномірно розподілений на . Нехай і . Покажіть, що кореляція між і дорівнює нулю. $X$ $[0, 2\pi]$ $Y = \sin X$ $Z = \cos X$ $Y$ $Z$

Здається, мені потрібно було б знати стандартне відхилення синуса і косинуса та їх коваріацію. Як я можу їх обчислити?

Я думаю, що мені потрібно припустити, що має рівномірний розподіл, і погляд на перетворені змінні і . Тоді закон несвідомого статистика дав би очікуване значення $X$ $Y=\sin(X)$ $Z=\cos(X)$

E [Y] = \frac{1}{b - a} \int_{- \infty}^{\infty} \sin (x) d x

$E[Y] = \frac{1}{b-a}\int_{-\infty}^{\infty} \sin(x)dx$ і

E [Z] = \frac{1}{b - a} \int_{- \infty}^{\infty} \cos (x) d x

$E[Z] = \frac{1}{b-a}\int_{-\infty}^{\infty} \cos(x)dx$

(щільність є постійною, оскільки вона є рівномірним розподілом, і тому може бути переміщена з інтеграла).

Однак ці інтеграли не визначені (але я думаю, що Коші є основними значеннями нуля).

Як я міг вирішити цю проблему? Я думаю, що я знаю рішення (кореляція дорівнює нулю, оскільки синус і косинус мають протилежні фази), але не можу знайти, як його вивести.

— уклад
джерело

Як зазначалося, ваша проблема недостатньо визначена. Кореляція - це поняття, яке застосовується до випадкових змінних, а не до функцій. (Формально випадкова величина - це певна функція, а саме вимірювана функція від простору ймовірностей до реальних чисел, оснащених мірою Бореля. Але просто сказане "синусоїдальна функція" нічого не говорить про міру ймовірності в домен, який дає вам імовірнісну інформацію, включаючи спільні дистрибуції.)

— Kodiologist

Якщо я припускаю, що час є рівномірною випадковою змінною ( у моєму тексті), чи не можливо це зробити? Я маю на увазі, я б тоді дивився на співвідношення двох перетворених випадкових величин.

X

$X$

— уклад

Отже, ви хочете, щоб рівномірно розподілявся, і тоді ви визначаєте і ? Це добре, крім того, що вам також потрібно вказати підтримку щільності , оскільки немає рівномірного розподілу на весь або будь-який інший нескінченно довгий інтервал.

X

$X$

Y = \sin X

$Y = \sin X$

Z = \cos X

$Z = \cos X$

X

$X$

ℝ

$ℝ$

— Кодіолог

Можливо, я міг би взяти як опору (я вважаю, що , тому інтервал містить один повний цикл). Я думаю, що проблеми інтеграції згодом зникнуть

[0, 2 * p i]

$[0, 2*pi]$

f = 1

$f=1$

— додайте

Якщо ви це зробите, то вам потрібно лише намалювати розсип - не потрібна інтеграція. Цей розсіювач є рівномірним розподілом на одиничне коло (очевидно). Оскільки коло є симетричним під будь-яким відображенням через початок, кореляція дорівнює його негативу, звідси воно має бути нульовим, QED .

— whuber

З тих пір

\begin{aligned} Cov (Y, Z) & = E [(Y - E [Y]) (Z - E [Z])] \\ = E [(Y - \int_{0}^{2 π} \sin x d x) (Z - \int_{0}^{2 π} \cos x d x)] \\ = E [(Y - 0) (Z - 0)] \\ = E [Y Z] \\ = \int_{0}^{2 π} \sin x \cos x d x \\ = 0, \end{aligned}

$\begin{align} \operatorname{Cov}(Y, Z) &= E[(Y - E[Y])(Z - E[Z])] \\ &= E[(Y - {\textstyle \int}_0^{2\pi} \sin x \;dx)(Z - {\textstyle \int}_0^{2\pi} \cos x \;dx)] \\ &= E[(Y - 0)(Z - 0)] \\ &= E[YZ] \\ &= \int_0^{2\pi} \sin x \cos x \;dx \\ &= 0 , \end{align}$

кореляція також повинна бути 0.

— Кодіолог
джерело

Мені дуже подобається аргумент @ whuber із симетрії, і я не хочу, щоб це було втрачено як коментар, тому ось трохи деталізації.

Розглянемо випадковий вектор , де і , для . Потім, оскільки параметризує одиничне коло за довжиною дуги, розподіляється рівномірно на одиничне коло. Зокрема, розподіл такий же, як розподіл . Але потім $(X, Y)$ $X = \cos(U)$ $Y = \sin(U)$ $U \sim U(0, 2 \pi)$ $\theta \mapsto (\cos(\theta), \sin(\theta))$ $(X, Y)$ $(-X, Y)$ $(X, Y)$

- Cov (X, Y) = Cov (- X, Y) = Cov (X, Y)

$- \text{Cov} (X, Y) = \text{Cov} (-X, Y) = \text{Cov} (X, Y)$

тому повинно бути, що . $\text{Cov} (X, Y) = 0$

Просто гарний геометричний аргумент.

— Метью Друрі
джерело