Повна загальна статистика: Єдина (a, b)

Нехай $\mathbf{X}= (x_1, x_2, \dots x_n)$ - випадкова вибірка з рівномірного розподілу на $(a,b)$ , де $a < b$ . Нехай $Y_1$ і $Y_n$ - найбільша і найменша статистика порядку. Покажіть, що статистика $(Y_1, Y_n)$ є спільно повною достатньою статистикою для параметра $\theta = (a, b)$ .

Мені не проблема виявляти достатність за допомогою факторизації.

Питання: Як я проявляю повноту? Переважно хотілося б підказати.

Спроба: я можу показати, що $\mathbb E[g(T(x))] = 0$ означає $g(T(x)) = 0$ для рівномірного розподілу одного параметра, але я застрягаю на рівномірному розподілі двох параметрів.

Я спробував пограти з $\mathbb E[g(Y_1, Y_n)]$ і скориставшись спільним розподілом $Y_1$ і $Y_n$ , але я не впевнений, чи рухаюся я в правильному напрямку, оскільки обчислення мене відключає.

— emlu
джерело

Додайте [self-study]тег і прочитайте його вікі . Зауважте, що ви можете використовувати латексне форматування для математики, додаючи долари, наприклад, $x$ виробляє

x

$x$ . Я спробував набрати деякі ваші математики, але не соромтесь змінювати або повертати, якщо ви не задоволені результатом. Ви можете віддати перевагу позначенням $\vec x$ для

\vec{x}

$\vec x$ а не $\mathbf x$ для

x

$\mathbf x$ .

— Срібна рибка

Давайте подбаємо про рутинне обчислення для вас, щоб ви могли дістати до основи проблеми та насолоджуватися формулюванням рішення. Це зводиться до побудови прямокутників як об'єднань та відмінностей трикутників.

Спочатку виберіть значення і які роблять деталі максимально простими. $a$ $b$ Мені подобається : одновимірна щільність будь-якого компонента - це лише функція індикатора інтервалу . $a=0,b=1$ $X=(X_1,X_2,\ldots,X_n)$ $[0,1]$

Знайдемо функцію розподілу з . $F$ $(Y_1,Y_n)$ За визначенням, для будь-яких дійсних чисел це $y_1 \le y_n$

\begin{matrix} (1) & F (y_{1}, y_{n}) = Pr (Y_{1} \leq y_{1} and Y_{n} \leq y_{n}) . \end{matrix}

$F(y_1,y_n) = \Pr(Y_1\le y_1\text{ and } Y_n \le y_n).\tag{1}$

Значення очевидно або у випадку, якщо будь-який з або знаходиться поза інтервалом , тож припустимо, що вони обидва в цьому інтервалі. (Припустимо також щоб уникнути обговорення дрібниць.) У цьому випадку подія може бути описана в термінах вихідних змінних як "принаймні одна з менше або дорівнює і жоден з перевищує . " Рівнозначно, що всі лежать у $F$ $0$ $1$ $y_1$ $y_n$ $[a,b] = [0,1]$ $n\ge 2$ $(1)$ $X=(X_1,X_2,\ldots,X_n)$ $X_i$ $y_1$ $X_i$ $y_n$ $X_i$ $[0,y_n]$ але це не так, що всі вони лежать . $(y_1,y_n]$

Оскільки є незалежними, їх ймовірності множиться і дають та відповідно для цих двох щойно згаданих подій. Таким чином, $X_i$ $(y_n-0)^n = y_n^n$ $(y_n-y_1)^n$

F (y_{1}, y_{n}) = y_{n}^{n} - (y_{n} - y_{1})^{n} .

$F(y_1,y_n) = y_n^n - (y_n-y_1)^n.$

Щільність - змішана часткова похідна , $f$ $F$

f (y_{1}, y_{n}) = \frac{\partial^{2} F}{\partial y_{1} \partial y_{n}} (y_{1}, y_{n}) = n (n - 1) (y_{n} - y_{1})^{n - 2} .

$f(y_1,y_n) = \frac{\partial^2 F}{\partial y_1 \partial y_n}(y_1,y_n) = n(n-1)(y_n-y_1)^{n-2}.$

Загальний випадок для масштабує змінні на коефіцієнт і зміщує розташування на . $(a,b)$ $b-a$ $a$ Таким чином, для , $a \lt y_1 \le y_n \lt b$

F (y_{1}, y_{n}; a, b) = ({(\frac{y_{n} - a}{b - a})}^{n} - {(\frac{y_{n} - a}{b - a} - \frac{y_{1} - a}{b - a})}^{n}) = \frac{(y_{n} - a)^{n} - (y_{n} - y_{1})^{n}}{(b - a)^{n}} .

$F(y_1,y_n; a,b) = \left(\left(\frac{y_n-a}{b-a}\right)^n - \left(\frac{y_n-a}{b-a} - \frac{y_1-a}{b-a}\right)^n\right) = \frac{(y_n-a)^n - (y_n-y_1)^n}{(b-a)^n}.$

Диференціюючи, як ми отримуємо раніше

f (y_{1}, y_{n}; a, b) = \frac{n (n - 1)}{(b - a)^{n}} (y_{n} - y_{1})^{n - 2} .

$f(y_1,y_n; a,b) = \frac{n(n-1)}{(b-a)^n}(y_n-y_1)^{n-2}.$

Розглянемо визначення повноти. Нехай - будь-яка вимірювана функція двох реальних змінних. За визначенням, $g$

\begin{matrix} (2) & \begin{aligned} E [g (Y_{1}, Y_{n})] & = \int_{y_{1}}^{b} \int_{a}^{b} g (y_{1}, y_{n}) f (y_{1}, y_{n}) d y_{1} d y_{n} \\ \propto \int_{y_{1}}^{b} \int_{a}^{b} g (y_{1}, y_{n}) (y_{n} - y_{1})^{n - 2} d y_{1} d y_{n} . \end{aligned} \end{matrix}

$\eqalign{E[g(Y_1,Y_n)] &= \int_{y_1}^b\int_a^b g(y_1,y_n) f(y_1,y_n)dy_1dy_n\\ &\propto\int_{y_1}^b\int_a^b g(y_1,y_n) (y_n-y_1)^{n-2} dy_1dy_n.\tag{2} }$

Нам потрібно показати, що коли це очікування дорівнює нулю для всіх , тоді точно, що для будь-якого . $(a,b)$ $g=0$ $(a,b)$

Ось ваш натяк. Нехай - будь-яка вимірювана функція. Я хотів би висловити це у формі, запропонованій як . Для цього, очевидно, ми повинні ділити на . На жаль, для це не визначається, коли . Ключовим є те, що цей набір має міру нуля, тому ми можемо нехтувати ним. $h:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$ $(2)$ $h(x,y)=g(x,y)(y-x)^{n-2}$ $h$ $(y-x)^{n-2}$ $n\gt 2$ $y-x$

Відповідно, задавши будь-який вимірюваний , визначте $h$

g (x, y) = {\begin{matrix} h (x, y) / (y - x)^{n - 2} & x \neq y \\ 0 & x = y \end{matrix}

$g(x,y) = \left\{\matrix{h(x,y)/(y-x)^{n-2} & x \ne y \\ 0 & x=y}\right.$

Тоді стає $(2)$

\begin{matrix} (3) & \int_{y_{1}}^{b} \int_{a}^{b} h (y_{1}, y_{n}) d y_{1} d y_{n} \propto E [g (Y_{1}, Y_{n})] . \end{matrix}

$\int_{y_1}^b\int_a^b h(y_1,y_n) dy_1dy_n \propto E[g(Y_1,Y_n)].\tag{3}$

(Коли завдання показує, що щось дорівнює нулю, ми можемо ігнорувати ненульові константи пропорційності. Ось, я з лівої сторони відпустив .) $n(n-1)/(b-a)^{n-2}$

Це інтеграл над правильним трикутником з гіпотенузою, що проходить від до і вершиною at . Позначимо такий трикутник . $(a,a)$ $(b,b)$ $(a,b)$ $\Delta(a,b)$

Ерго , що вам потрібно показати, що якщо інтеграл довільної вимірюваної функції над усіма трикутниками дорівнює нулю, то для будь-якого , (майже напевно ) для всіх . $h$ $\Delta(a,b)$ $a\lt b$ $h(x,y)=0$ $(x,y)\in \Delta(a,b)$

Хоча може здатися, що ми більше не дійшли, розглянемо будь-який прямокутник повністю міститься в півплощині . Його можна виразити трикутниками: $[u_1,u_2]\times [v_1,v_2]$ $y \gt x$

[u_{1}, u_{2}] \times [v_{1}, v_{2}] = Δ (u_{1}, v_{2}) ∖ (Δ (u_{1}, v_{1}) \cup Δ (u_{2}, v_{2})) \cup Δ (u_{2}, v_{1}) .

$[u_1,u_2]\times [v_1,v_2] = \Delta(u_1,v_2) \setminus\left(\Delta(u_1,v_1) \cup \Delta(u_2,v_2)\right)\cup \Delta(u_2,v_1).$

На цій фігурі прямокутник - це те, що залишилося від великого трикутника, коли ми видаляємо червоний та зелений трикутники, що перекриваються (що вдвічі рахує їх коричневий перетин), а потім замінюємо їх перетин.

Отже, можна відразу вивести, що інтеграл над усіма такими прямокутниками дорівнює нулю. $h$ Залишається лише показати, що має бути дорівнює нулю (крім його значень на деякому наборі міри нуля) кожного разу, коли . Доказ цього (інтуїтивно зрозумілого) твердження залежить від того, який підхід ви хочете взяти до визначення інтеграції. $h(x,y)$ $y \gt x$

— дзижчати
джерело

Я спробував встановити рівняння 3 рівне нулю, взяти похідну з обох сторін і обміняти знаками (я думаю, рефлекторна дія), але результати виглядають досить страшно [1]. Чи є більш розумний підхід? [1] en.wikipedia.org/wiki/Leibniz_integral_rule#Higher_dimensions

— mugen

Розгляньте кінцеві колекції менших та менших трикутників, які лежать уздовж гіпотенузи на малюнку, і візьміть межу, оскільки діаметр найбільшого трикутника у колекції іде до нуля.

— whuber