Властивості PCA для залежних спостережень

Ми зазвичай використовуємо PCA як метод зменшення розмірності для даних, коли випадки вважаються ідентичними

Запитання: Які типові нюанси у застосуванні PCA для залежних від неідентифікованих даних? Які приємні / корисні властивості PCA, які зберігаються для даних iid, поставлені під загрозу (або повністю втрачені)?

Наприклад, дані можуть бути багатоваріантним часовим рядом, і в цьому випадку можна очікувати автокореляції або авторегресивної умовної гетерокедастичності (ARCH).

Раніше було задано декілька пов'язаних питань щодо застосування ПКС до даних часових рядів, наприклад, 1 , 2 , 3 , 4 , але я шукаю більш загальну та всебічну відповідь (без потреби багато розширювати кожну окрему точку).

Редагувати: Як зазначає @ttnphns, PCA сама по собі не є інфекційним аналізом. Однак, можна зацікавити результати узагальнення PCA, тобто зосередити увагу на популяційному аналозі вибірки PCA. Наприклад, як написано у Надлері (2008) :

Якщо припустити, що дані є кінцевою та випадковою вибіркою з (як правило, невідомого) розподілу, цікавим теоретичним та практичним питанням є співвідношення між результатами вибірки PCA, обчисленими з кінцевих даних, та тими, що лежать в основі основної моделі популяції.

Список літератури:

• Надлер, Боаз. "Результати кінцевого наближення вибірки для аналізу основних компонентів: матричний збурений підхід." Аналіз статистики (2008): 2791-2817.

Імовірно, ви могли б додати компонент часу як додаткову функцію до вибіркових точок, а тепер вони є iid? В основному вихідні точки даних залежать від часу:

Але, якщо ми визначимо , то маємо:$\mathbf{x}_i' = \{\mathbf{x}_i, t_i\}$

... а вибірки даних тепер взаємно незалежні.

На практиці, включивши час як особливість у кожну точку даних, PCA може призвести до того, що один компонент просто вказує вздовж осі часової характеристики. Але якщо будь-які функції співвідносяться з часовою ознакою, компонент може складатися з однієї або декількох цих особливостей, а також часової функції.