Очікуване значення проти найбільш ймовірного значення (режим)

15

Очікуване значення розподілу - середнє, тобто середньозважене значення $f(x)$

E [x] = \int_{- \infty}^{+ \infty} x f (x) d x

$E[x]=\int_{-\infty}^{+\infty} x \, \, f(x) dx$

Найбільш ймовірне значення - режим, тобто найбільш вірогідне значення.

Однак чи очікуємо ми якось багато разів бачити ? Цитуючи звідси : $E[x]$

Якщо результати не є однаково вірогідними, то просте середнє необхідно замінити середньозваженим, що враховує той факт, що деякі результати є більш імовірними, ніж інші. Однак інтуїція залишається такою ж: очікувана величина - це те, що очікується, що це станеться в середньому $x_i$ $x$ .

Я не можу зрозуміти, що означає "в середньому", чи означає це, що, на зразок, беручи міру багато часу, я очікую побачити більше, ніж інші значення $E[x]$ $x$ ? Але чи це не визначення режиму?

То як інтерпретувати твердження? І яке ймовірнісне значення ? $E[x]$

Я також хотів би показати приклад, коли я заплутався. Вивчення $\chi^2$ розподілу я дізнався , що режим є , в той час як , де $\chi^2_{mode}=\nu-2$ $E[\chi^2]=\nu$ $\nu$ є ступенями свободи даних.

Я почув в університеті, що, роблячи тест після використання методу найменших квадратів, щоб підходити до набору даних, я повинен розраховувати отримати оскільки "це відбувається взагалі". $\chi^2$ $\chi^2 \approx \nu$

Чи я все це неправильно зрозумів чи очікуване значення якось дуже вірогідне? (Навіть якщо найбільш ймовірне значення, звичайно, режим)

— Sørën
джерело

4

Мені дуже подобається сила метафори "білетні коробки" на це питання, оскільки вона дає просту, зрозумілу відповідь: очікування випадкової величини - це сума її значень (як намальовано на квитках), поділена на кількість квитків. Це воно. Будь-яке твердження, яке не випливає з цього визначення (або більш складних математичних його еквівалентів), є лише евристичним і, можливо, в деяких обставинах може бути невірним.

— whuber

18

Для нормального розподілу очікуване значення, так само середнє, дорівнює режиму.

Загалом, не тільки очікуване значення є не тільки не найімовірнішим (або при найвищій щільності), але й може не мати шансів на виникнення. Наприклад, розглянемо випадкову змінну X, яка дорівнює 0 або 2, кожна з ймовірністю 0,5. Тоді EX = 1, але очікуване значення 1 має 0 ймовірність виникнення, тоді як 0 і 2 є обома режимами розподілу.

Цитата "очікуване значення х - це те, що очікується, що це трапиться в середньому" - це нетехнічна мова непрофесійного населення, яка, як видно з вашої плутанини, служить лише для заплутування питань. Очікуване значення має дуже конкретне значення, ймовірно, як середнє значення для математики. Тоді як у мові неспеціаліста очікуване значення або "в середньому" може бути типовим чином. Вони можуть бути узгоджені, якщо "в середньому" інтерпретувати як математичне середнє те, що відбувається.

Очікуємо,

Джо Середній

— Марк Л. Стоун
джерело

1

Ставить питання: а як бути з медіаною, яка гарантовано є можливою ?

— яскраво-зірка

Як сказав @TrevorAlexander, режим також не дає гарантій. Розглянемо режим безперервного розподілу.

— Тім

3

P (X \leq m) \geq 1 / 2

$P(X \le m) \ge 1/2$

P (X \geq m) \geq 1 / 2

$P(X \ge m) \ge 1/2$

5

P (X = E (X)) = 0

$P( X = E(X) ) = 0$

X

$X$ є континуалом)

Єдиним виправданням очікуваної вартості та причиною, чому ми «сподіваємось бачити її часто», є Закон великих чисел :

$n$ $X_i$

\frac{X_{1} + \dots + X_{n}}{n} \to E (X)

$\frac {X_1 + \dots + X_n}{n} \to E(X)$

$\to$

Що це означає? Уявіть, що ви кинули монету з вірогідністю $p> \frac 12$ $1$ $1-p$ $0$

E (X) = 1 \cdot p + 0 \cdot (1 - p) = p

$E(X) = 1\cdot p + 0\cdot(1-p) = p$

Тепер чітко "р" ніколи не станеться (це або голова, або хвіст, або 0, або 1).

$E(X) = p$

— Мураха
джерело

Я б не сказав, що закон великих чисел є єдиним виправданням очікуваного значення. Наприклад, en.wikipedia.org/wiki/… - це виправдання для розгляду очікуваних значень функцій корисності (я не вивчив доказ, але я здивований, якщо це якось засноване на законі великої кількості).

— Juho Kokkala

3

Мені не подобається термін "очікувана величина" і не використовував його при навчанні ймовірності. На мою думку, "середнє арифметичне" краще, тому що середнє арифметичне 6-стороннього штампу становить 3,5, але таке число не зустрічається. Я спочатку почув термін "цінність очікування" для концепції, коли навчався в коледжі. Багато технічних термінів не згодні з очевидним нетехнічним значенням. ("Або" спадає на думку.)

Зауважте, що розподіл може мати більше одного режиму, але середнє арифметичне є унікальним. Режим, середня та медіанна різні та мають різні види використання.

— ttw
джерело

1

Хороший на "чи". Це змусило мене замислитися над моїм курсом лінійного програмування, в якому ми вивчали кілька теорем альтернативи. Вони мали форму "Або А - це правда, або" Б "- це правда, але не те й інше". Це набагато простіше виразити це як A xor B. Я не чую багато використання xor у випадковій вуличній розмові.

— Марк Л. Стоун

2

Різницю найлегше помітити в дискретних розподілах:

Розглянемо два набори значень, де кожне число з однаковою ймовірністю буде проведено: {1,2,2,2,10} і {1,2,2,2,3}.

Обидва мають однаковий режим (2), але очікувані значення відрізняються. Очікуване значення додає велику вагу великим значенням, тоді як режим просто шукає, яке значення трапляється часто. Отже, якщо ви вивели з цього розподілу купу разів, середнє значення вибірки було б близьким до очікуваного значення, тоді як найпоширенішим цілим числом було б близьке до режиму.

$mode=arg{\max{f(x)}}$ $x*f(x)$ тому воно враховує вагу кожного x.

Використання мови для розмежування різних показників центральної тенденції є поширеною проблемою при вивченні статистики. Наприклад, медіана - це ще одна міра, яка не перекошена великими значеннями, такими як середнє.

— VCG
джерело