Що говорить нам r, r квадрат і залишкове стандартне відхилення про лінійну залежність?

Невеликий фон
Я працюю над інтерпретацією регресійного аналізу, але мене дуже розгублено щодо значення r, r квадрата та залишкового стандартного відхилення. Я знаю визначення:

Характеристики

r вимірює силу і напрямок лінійної залежності між двома змінними на розсіювачі

R-квадрат - це статистичний показник того, наскільки близькі дані до встановленої лінії регресії.

Залишкове стандартне відхилення - це статистичний термін, що використовується для опису стандартного відхилення точок, утворених навколо лінійної функції, і є оцінкою точності вимірюваної залежної змінної. ( Не знаю, що це за підрозділи, будь-яка інформація про підрозділи тут буде корисною )

(джерела: тут )

Питання
Хоча я "розумію" характеристики, я розумію, як ці терміни створюють висновок про набір даних. Я вставлю сюди невеликий приклад, можливо, це може послужити керівництвом, щоб відповісти на моє запитання ( не соромтесь використовувати власний приклад!)

Приклад
Це не питання про робочу роботу, проте я шукав у своїй книзі, щоб отримати простий приклад (поточний набір даних, який я аналізую, занадто складний і великий для показу тут)

Двадцять ділянок, кожні 10 х 4 метри, були вибрані випадковим чином у великому полі кукурудзи. Для кожної ділянки спостерігали густоту рослин (кількість рослин на ділянці) та середню масу кукурудзи (гм зерна на кожну). Результати наведені в таблиці:
(джерело: Статистика наук про життя )

╔═══════════════╦════════════╦══╗
║ Platn density ║ Cob weight ║  ║
╠═══════════════╬════════════╬══╣
║           137 ║        212 ║  ║
║           107 ║        241 ║  ║
║           132 ║        215 ║  ║
║           135 ║        225 ║  ║
║           115 ║        250 ║  ║
║           103 ║        241 ║  ║
║           102 ║        237 ║  ║
║            65 ║        282 ║  ║
║           149 ║        206 ║  ║
║            85 ║        246 ║  ║
║           173 ║        194 ║  ║
║           124 ║        241 ║  ║
║           157 ║        196 ║  ║
║           184 ║        193 ║  ║
║           112 ║        224 ║  ║
║            80 ║        257 ║  ║
║           165 ║        200 ║  ║
║           160 ║        190 ║  ║
║           157 ║        208 ║  ║
║           119 ║        224 ║  ║
╚═══════════════╩════════════╩══╝

Спочатку я зроблю розсіювач для візуалізації даних: Тому я можу обчислити r, R ² та залишкове стандартне відхилення. Перший кореляційний тест:

    Pearson's product-moment correlation

data:  X and Y
t = -11.885, df = 18, p-value = 5.889e-10
alternative hypothesis: true correlation is not equal to 0
95 percent confidence interval:
 -0.9770972 -0.8560421
sample estimates:
       cor 
-0.9417954 

по-друге, підсумок лінії регресії:

Residuals:
    Min      1Q  Median      3Q     Max 
-11.666  -6.346  -1.439   5.049  16.496 

Coefficients:
             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept) 316.37619    7.99950   39.55  < 2e-16 ***
X            -0.72063    0.06063  -11.88 5.89e-10 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Residual standard error: 8.619 on 18 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.887, Adjusted R-squared:  0.8807 
F-statistic: 141.3 on 1 and 18 DF,  p-value: 5.889e-10

Отже, виходячи з цього тесту: r = -0.9417954, R-квадрат: 0.887та Залишкова стандартна помилка: 8.619 Що ці значення говорять нам про набір даних? (див. питання )

Ці статистичні дані можуть розповісти вам про наявність лінійної складової у відносинах, але не дуже про те, чи відносини строго лінійні. Зв'язок з малою квадратичною складовою може мати r ^ 2 0,99. Діаграма залишків як функція передбачуваного може бути показовою. У експерименті Галілея тут https://ww2.amstat.org/publications/jse/v3n1/datasets.dickey.html кореляція дуже висока, але зв'язок явно нелінійний.

Ось друга спроба відповіді після отримання зворотного зв’язку щодо питань з моєю першою відповіддю.

$r$$|r|$$|r|$

$R^2$$r^2$$R^2$

$r$$R^2$$r$$r$$R^2$$r$$R^2$

Залишкова стандартна помилка - це стандартне відхилення для нормального розподілу, зосереджене на передбачуваній лінії регресії, що представляє розподіл фактично спостережуваних значень. Іншими словами, якщо ми мали би виміряти лише густоту рослин для нової ділянки, ми можемо передбачити вагу качана, використовуючи коефіцієнти встановленої моделі, це означає, що це розподіл. RSE - це стандартне відхилення цього розподілу, і, отже, міра на те, наскільки ми очікуємо, що фактично спостережувані ваги кобу відхиляться від значень, передбачених моделлю. У цьому випадку РЗЕ ~ 8 має порівнюватися зі стандартним відхиленням зразка ваги качана, але чим менший показник RSE порівняно із зразком SD, тим більш прогнозованою чи адекватною є модель.