Чому ми беремо квадратний дисперсійний корінь для створення стандартного відхилення?

Вибачте, якщо на це відповіли в іншому місці, я не зміг його знайти.

Мені цікаво, чому ми беремо квадратний корінь , зокрема, дисперсії для створення стандартного відхилення? Що стосується взяття квадратного кореня, який дає корисне значення?

У певному сенсі це тривіальне питання, але в іншому воно насправді досить глибоке!

• Як уже згадувалося, витягуючи квадратний корінь означає має ті ж одиниці .$\operatorname{Stdev}(X)$$X$

• Беручи квадратний корінь, ви отримуєте абсолютну однорідність, також абсолютну масштабованість . Для будь-якої скалярної та випадкової змінної ми маємо: Absolute гомогенність є обов'язковою властивістю з норми . Стандартне відхилення можна інтерпретувати як норму (на векторному просторі середніх нульових випадкових величин) аналогічно, що є стандартною евклідовою нормою в тривимірному простір. Стандартне відхилення - це міра відстані між випадковою змінною та її середнім значенням.$\alpha$$X$

  $$\operatorname{Stdev}[\alpha X] = |\alpha| \operatorname{Stdev}[X]$$ $\sqrt{x^2 + y^2+z^2}$

Стандартне відхилення та норма$L_2$

Випадок кінцевого розміру:

У мірному векторному просторі стандартна евклідова норма, відома як норма , визначається як:$n$$L_2$

Більш широко, -norm приймає корінь щоб отримати абсолютний однорідність: .$p$ $\|\mathbf{x}\|_p = \left(\sum_i |x_i|^p \right)^{\frac{1}{p}}$$p$$\|\alpha \mathbf{x}\|_p = \left( \sum_i |\alpha x_i|^p \right)^\frac{1}{p} = | \alpha | \left( \sum_i |x_i|^p \right)^\frac{1}{p} = |\alpha | \|\mathbf{x}\|_p$

Якщо у вас є ваги то зважена сума також є дійсною нормою. Крім того, це стандартне відхилення, якщо представляють ймовірності та$q_i$$\sqrt{\sum_i x_i^2 q_i}$$q_i$$\operatorname{E}[\mathbf{x}] \equiv \sum_i x_i q_i = 0$

Випадок нескінченного розміру:

У нескінченномірному просторі Гільберта ми аналогічно можемо визначити норму :$L_2$

Якщо - середня нульова випадкова величина, а - міра ймовірності, яке стандартне відхилення? Це те саме: .$X$$P$$\sqrt{\int_\omega X(\omega)^2 dP(\omega) }$

Підсумок:

Беручи квадратний корінь означає, що стандартне відхилення задовольняє абсолютну однорідність , необхідну властивість норми .

На просторі випадкових величин, являє собою скалярний твір і норма, викликана цим внутрішнім продуктом . Таким чином, стандартне відхилення є нормою збитої випадкової величини: Це міра відстані від середнього в .$\langle X, Y \rangle = \operatorname{E}[XY]$| | Х ‖ 2 = √$\|X\|_2 = \sqrt{\operatorname{E}[X^2]}$ Stdev[X]=‖X-E[X]‖2E[X]X

(Технічний момент: у той час як ім'я є нормою, стандартне відхилення ім'я не є нормою більш випадкових величин в цілому , так як потреба в нормованому векторному просторі є тоді і тільки тоді , коли . стандартне відхилення 0 Байдуже » t означає, що випадкова величина є нульовим елементом.)$\sqrt{\operatorname{E}[X^2]}$$\sqrt{\operatorname{E}[(X - \operatorname{E}[X])^2]}$$\|x\| = \mathbf{0}$$x = \mathbf{0}$

Варіантність визначається як , тому це очікування різниці у квадраті між X та очікуваним значенням.$X$$V(X) = E(X-E(X))^2$

Якщо час у секундах, - у секундах, але знаходиться у і знову через секунди.$X$$X-E(X)$$V(X)$$\mbox{seconds}^2$$\sqrt{V(X)}$

Проста відповідь полягає в тому, що одиниці знаходяться в тій же шкалі, що і середня величина. Приклад: Я оцінюю середнє значення для середнього школяра 160см при стандартному відхиленні (СД) 20см. Це інтуїтивно легше отримати почуття зміни з СД , ніж дисперсія 400см ^ 2.

Простіше кажучи, стандартне відхилення покликане дати нам позитивне число, яке щось говорить про поширення наших даних про його значення.

Якби ми просто підсумовували відстані всіх точок від середньої величини, то точки в позитивному та негативному напрямках поєднувались би таким чином, який би тяжів назад до середнього, і ми втрачали б інформацію про спред. Ось чому ми спочатку вимірюємо дисперсію, щоб всі відстані зберігалися як позитивні величини за допомогою квадрату, і вони не відміняли один одного. Зрештою, ми хочемо, щоб позитивне значення було представлене з одиниць, з яких ми почали - це вже було прокоментовано вище - тому ми беремо позитивний квадратний корінь.

Це історична дурість, яку ми продовжуємо через інтелектуальну лінь. Вони вирішили розподілити відмінності від середнього, щоб позбутися від знаку мінус. Потім вони взяли квадратний корінь, щоб довести його до масштабу, подібного до середнього.

Хтось повинен генерувати нову статистику, обчислювальну дисперсію та SD, використовуючи модуль або абсолютні значення відхилення від середнього. Це дозволило б позбутися від цілого квадрату, а потім взяти на себе корінний бізнес.