Відповіді:
І МОМ, і ГММ є дуже загальними методами оцінки параметрів статистичних моделей. GMM - як випливає з назви, - узагальнення MOM. Він був розроблений Ларсом Пітером Хансеном і вперше опублікований у Econometrica [1]. Оскільки є численні підручники з цього питання (наприклад, [2]), я вважаю, що ви хочете отримати тут нетехнічну відповідь.
Традиційний або класичний метод оцінювача моментів
Оцінювач MOM є послідовним, але неефективним. Припустимо вектор даних y, який був сформований розподілом ймовірності, індексованим векторним тетою параметра з k елементами. У методі моментів тета оцінюється обчисленням k вибірчних моментів y, встановлюючи їх рівними моментам сукупності, отриманим з передбачуваного розподілу ймовірностей, та розв’язуванням для тети. Наприклад, момент популяції mu - це очікування y, тоді як момент вибірки mu - середнє значення вибірки y. Ви б повторили це для кожного з k елементів тети. Оскільки вибіркові моменти, як правило, є послідовними оцінками популяційних моментів, тета-шапка буде узгодженою для тети.
Узагальнений метод моментів
У наведеному вище прикладі у нас була така ж кількість моментних умов, як і невідомі параметри, тому все, що ми зробили б, це вирішити k рівняння в k невідомих для отримання оцінок параметрів. Хансен запитав: Що відбувається, коли в нас більше моментних умов, ніж параметрів, як це зазвичай відбувається в економетричних моделях? Як ми можемо їх оптимально поєднувати? В цьому і полягає мета оцінювача GMM. У ГММ ми оцінюємо вектор параметрів, зводячи до мінімуму суму квадратів різниці між моментами сукупності та моментами вибірки, використовуючи дисперсію моментів як метрику. Це мінімальний показник дисперсії в класі оцінювачів, які використовують ці умови моменту.
[1] Hansen, LP (1982): Великі вибіркові властивості узагальненого методу оцінювачів моментів, Econometrica , 50, 1029-1054
[2] Холл, АР (2005). Узагальнений метод моментів (вдосконалені тексти в економетриці). Oxford University Press