Чи може хтось проілюструвати, як може бути залежність і нульова коваріація?

Чи може хтось проілюструвати, як це робить Грег, але більш детально, як випадкові змінні можуть залежати, але мають нульову коваріацію? Грег, тут плакат, наводить приклад, використовуючи тут коло .

Чи може хтось пояснити цей процес більш детально, використовуючи послідовність етапів, які ілюструють процес на декількох етапах?

Крім того, якщо ви знаєте приклад з психології, будь ласка, проілюструйте цю концепцію відповідним прикладом. Будьте дуже точні та послідовні у своєму поясненні, а також зазначте, які можуть бути наслідки.

Основна ідея тут полягає в тому, що коваріація вимірює лише один конкретний тип залежності , тому дві не є рівнозначними. Зокрема,

• Коваріація - це міра того, наскільки лінійно пов'язані дві змінні. Якщо дві змінні нелінійно пов'язані, це не відображатиметься в коваріації. Більш детальний опис можна знайти тут .

• Залежність між випадковими змінними відноситься до будь-якого типу відносин між цими двома, що змушує їх діяти інакше «разом», ніж вони «самі по собі». Зокрема, залежність між випадковими змінними поглинає будь-які відносини між цими, що спричиняють їх спільний розподіл не продуктом їх граничних розподілів. Сюди входять лінійні відносини, а також багато інших.

• Якщо дві змінні нелінійно пов'язані, вони потенційно можуть мати 0 коваріації, але все ще залежать - тут наводиться багато прикладів, і цей графік нижче з Вікіпедії дає кілька графічних прикладів у нижньому рядку:

  

• Одним із прикладів, коли нульова коваріація та незалежність між випадковими змінними є еквівалентними умовами, - коли змінні спільно нормально розподіляються (тобто обидві змінні дотримуються двовимірного нормального розподілу , що не еквівалентно двом змінним, які нормально розподіляються). Інший особливий випадок полягає в тому, що пари змінних Бернуллі є некорельованими тоді і лише тоді, коли вони є незалежними (спасибі @cardinal). Але в цілому обидва не можна вважати рівнозначними.

Тому взагалі не можна зробити висновок, що дві змінні є незалежними лише тому, що вони виявляються некорельованими (наприклад, не пропустили нульову гіпотезу про відсутність кореляції). Одно добре радити побудувати дані, щоб зробити висновок про те, що вони пов'язані між собою, а не просто зупинятися на тесті кореляції. Наприклад, (спасибі @gung), якщо потрібно запустити лінійну регресію (тобто тестування на ненульову кореляцію) і виявити несуттєвий результат, можна спробувати зробити висновок, що змінні не пов'язані між собою, але ви ' Я досліджував лише лінійний взаємозв'язок.

Я мало знаю про психологію, але має сенс, що там можуть бути нелінійні зв’язки між змінними. Як приклад іграшки, мабуть, можливо, що пізнавальна здатність нелінійно пов'язана з віком - дуже молоді та дуже старі люди не такі гострі, як 30-річна. Якби було побудувати якусь міру когнітивної абляції та віку, можна очікувати, що когнітивна здатність є найвищою у помірному віці і занепадає навколо цього, що було б нелінійною схемою.

Стандартним способом викладання / візуалізації кореляції чи коваріації є побудова даних, прорисування ліній середнім значенням «x» та «y», а потім малювання прямокутників від точки 2 засобів до окремих точок даних, наприклад:

Прямокутники (точки) у верхньому правому та нижньому лівому квадрантах (червоний у прикладі) вносять позитивні значення у кореляцію / коваріацію, тоді як прямокутники (точки) у верхньому лівому та нижньому правому квадрантах (синій у прикладі) вносять від'ємні значення значення кореляції / коваріації. Якщо загальна площа червоних прямокутників дорівнює загальній площі синіх прямокутників, то позитиви та негативи скасовуються, і ви отримуєте нульову коваріацію. Якщо в червоному є більше площі, то коваріація буде позитивною, а якщо в синьому кольорі більше, то коваріація буде негативною.

Тепер розглянемо приклад з попереднього обговорення:

Окремі точки слідують за параболою, тому вони залежні, якщо ви знаєте "x", то ви точно знаєте "y", але ви також можете бачити, що для кожного червоного прямокутника є відповідний синій прямокутник, тому остаточна коваріація буде 0 .

Один простий тест, якщо це, якщо дані в основному слідують за схемою, симетричною навколо вертикальної або горизонтальної осі через засоби, ко-дисперсія буде досить близькою до нуля. Наприклад, якщо симетрія знаходиться навколо осі y, це означає, що для кожного значення з заданим y існує додатна різниця x від середнього x та від'ємна різниця від середнього x. Додавання y * x для цих значень буде дорівнює нулю. Ви можете це добре проілюструвати в колекції прикладних сюжетів в інших відповідях. Існують і інші зразки, які дають нульову ко-дисперсію, але не незалежність, але багато прикладів легко оцінюються, шукаючи симетричність чи ні.

Приклад з Вікіпедії :

"Якщо змінні незалежні, коефіцієнт кореляції Пірсона дорівнює 0, але зворотне не відповідає дійсності, оскільки коефіцієнт кореляції виявляє лише лінійні залежності між двома змінними. Наприклад, припустимо, що випадкова величина X симетрично розподілена приблизно до нуля, а Y = X ^ 2. Тоді Y повністю визначається X, так що X і Y є абсолютно залежними, але їх співвідношення дорівнює нулю; вони некорельовані. Однак у спеціальному випадку, коли X і Y є спільно нормальними, некорельованість рівнозначна незалежності ".