Чому ln [E (x)]> E [ln (x)]?

Ми маємо справу з лонормальним розподілом у курсах фінансів, і в моєму підручнику просто зазначено, що це правда, що мені здається неприємним, оскільки мій математичний фон не дуже сильний, але я хочу, щоб інтуїція. Хтось може мені показати, чому це так?

Нагадаємо, що$e^x\geq 1+x$

$E\left[e^{Y}\right]=e^{ E(Y)} E\left[e^{Y- E(Y)}\right]\geq e^{E(Y)} E\left[1+{Y- E(Y)}\right] = e^{E(Y)}$

Отже,$e^{E(Y)}\leq E\left[e^{Y}\right]$

Відпустивши , маємо:$Y=\ln X$

$e^{E(\ln X)}\leq E\left[e^{\ln X}\right]=E(X)$

тепер візьміть колоди обох сторін

$E[\ln (X)]\leq\ln[E(X)]$

Як варіант:

$\ln X = \ln X - \ln \mu+\ln\mu \qquad$ (де )$\mu=E(X)$

$\qquad= \ln(X/\mu)+\ln \mu$

$\qquad= \ln[ \frac{X-\mu}{\mu} + 1]+\ln \mu$

$\qquad \leq \frac{X-\mu}{\mu} + \ln \mu\qquad$ (оскільки )$\ln(t+1)\leq t$

Тепер прийміть сподівання обох сторін:

$E[\ln(X)] \leq \ln\mu$

Ілюстрація (показує зв’язок з нерівністю Дженсена):

( Тут ролі X і Y змінені так, щоб вони відповідали осям сюжету; краще планування змінило б свої ролі вище, щоб сюжет більше безпосередньо відповідав алгебрі. )

Суцільні кольорові лінії являють собою засоби на кожній осі.

Як ми бачимо, оскільки відношення "нахиляється до" посередині (і "подалі від" ), середнє значення (помаранчева горизонтальна лінія) йде трохи далі, перш ніж вдарити по кривій (даючи невеликий зазор (позначений синім кольором) ) між log (середнє (y)) і середнє (log (y)), яке ми бачимо).$X$$Y$$Y$