Очікуване логічне значення нецентрального експоненціального розподілу

Припустимо, нецентральний експоненціально розподілений з розташуванням та швидкістю . Потім, що таке . $X$ $k$ $\lambda$ $E(\log(X))$

Я знаю, що при відповідь де - константа Ейлера-Машероні. Що робити, коли ? $k=0$ $-\log(\lambda) - \gamma$ $\gamma$ $k > 0$

mean expected-value integral

— Ніл G
джерело

Ви намагалися інтегруватися в Mathematica?

Я припускаю, що (коли щільність записується як ,) в іншому випадку з ймовірністю> 0, з жахливими наслідками для .

k > 0

$k > 0$

λ \exp {- λ (x - k)}

$\lambda \exp\{-\lambda(x-k)\}$

x < 0

$x < 0$

E \log x

$\mathbb{E}\log x$

— jbowman

Я отримав . Mathematica швидше, якщо ви використовуєте команду для визначення простору параметрів.

E [\log (X)] = e^{k λ} Γ (0, k λ) + \log (k)

${\mathbb E}[\log(X)]=e^{k\lambda}\Gamma(0,k\lambda)+\log(k)$ Assumptions

Чи вважається верхня неповна гамма-функція закритою формою ? (Для мене це не так.) Це просто зручно приховувати інтеграл через позначення.

— кардинал

@NeilG Це код Mathematica Integrate[Log[x + k]*\[Lambda]*Exp[-\[Lambda]*x], {x, 0, \[Infinity]}, Assumptions -> k > 0 && \[Lambda] > 0]. Ви можете просто скопіювати його та вставити у файл .nb. Я не впевнений, чи дозволяє Wolfram Alpha включати обмеження.

Бажаний інтеграл може бути підданий подачі жорстокими маніпуляціями; тут ми натомість намагаємось дати альтернативну деривацію з дещо більш імовірнісним присмаком.

Нехай - нецентральна експоненціальна випадкова величина з параметром розташування і параметром швидкості . Тоді де . $X \sim \mathrm{Exp}(k,\lambda)$ $k > 0$ $\lambda$ $X = Z + k$ $Z \sim \mathrm{Exp}(\lambda)$

Зауважте, що і так, використовуючи стандартний факт для обчислення очікування негативних випадкових змінних , Але, на оскільки і так де остання рівність випливає із підстановки $\log(X/k) \geq 0$

E \log (X / k) = \int_{0}^{\infty} P (\log (X / k) > z) d z = \int_{0}^{\infty} P (Z > k (e^{z} - 1)) d z .

$\newcommand{\e}{\mathbb E}\newcommand{\rd}{\mathrm d}\renewcommand{\Pr}{\mathbb P} \e \log(X/k) = \int_0^\infty \Pr(\log(X/k) > z)\,\rd z = \int_0^\infty \Pr(Z > k(e^z - 1)) \,\rd z \>.$

P (Z > k (e^{z} - 1)) = \exp (- λ k (e^{z} - 1))

$\Pr(Z > k(e^z -1)) = \exp(-\lambda k(e^z - 1))$

z \geq 0

$z \geq 0$

Z \sim E x p (λ)

$Z \sim \mathrm{Exp}(\lambda)$

E \log (X / k) = e^{λ k} \int_{0}^{\infty} \exp (- λ k e^{z}) d z = e^{λ k} \int_{λ k}^{\infty} t^{- 1} e^{- t} d t,

$\e \log(X/k) = e^{\lambda k} \int_0^\infty \exp(-\lambda k e^z) \, \rd z = e^{\lambda k} \int_{\lambda k}^\infty t^{-1} e^{-t} \,\rd t \>,$

t = λ k e^{z}

$t = \lambda k e^z$ , зазначивши, що .

d z = d t / t

$\rd z = \rd t / t$

Інтеграл у правій частині останнього дисплея - це просто за визначенням і так що підтверджено підрахунком @ Procrastinator Mathematica у коментарях до питання. $\Gamma(0,\lambda k)$

E \log X = e^{λ k} Γ (0, λ k) + \log k,

$\e \log X = e^{\lambda k} \Gamma(0,\lambda k) + \log k \>,$

Примітка : Еквівалентне позначення також часто використовується замість . $\mathrm E_1(x)$ $\Gamma(0,x)$

— кардинальний
джерело

+1 @Michael Chernick Здається, не всі лінуються;)

Це справді чудово. Я просто хочу зазначити, хто реалізує це, що багато реалізацій незавершеної функції гамма обмежують перший параметр суто позитивним. Ідентичність вирішує цю незначну проблему.

Γ (0, z) = - Ei (- z)

$\Gamma(0, z) = -\operatorname{Ei}(-z)$

— Ніл Г