Тригонометричні операції на стандартні відхилення

Додавання, віднімання, множення та ділення нормальних випадкових величин чітко визначено, але як бути з тригонометричними операціями?

Наприклад, припустимо, що я намагаюся знайти кут трикутного клина (моделюється як прямокутний трикутник) з двома катетами, що мають розміри $d_1$ і $d_2$ , обидва описані як звичайні розподіли.

І інтуїція, і симуляція говорять мені, що отриманий розподіл є нормальним із середнім $\arctan\left(\frac{\text{mean}(d_1)}{\text{mean}(d_2)}\right)$ . Але чи є спосіб обчислити розподіл отриманого кута? Посилання на те, де я знайшов відповідь?

(Для трохи контексту я працюю над статистичною толерантністю механічних деталей. Першим моїм імпульсом було б просто імітувати весь процес, перевірити, чи є кінцевий результат досить нормальним, і обчислити стандартне відхилення. Але мені цікаво якщо може бути акуратніший аналітичний підхід.)

— Боссікена
джерело

Чи можете ви підтвердити, що (a) d1 і d2 - бічні довжини (а не кути); (б) якщо ви вважаєте, що кут між ними є прямим кутом (бо в іншому випадку формула атана є підозрілою); та (c) що ви зацікавлені в розподілі одного з інших кутів цього правильного трикутника? Також, мабуть, SD кожного розподілу довжини набагато менший, ніж його очікування, оскільки трикутник не повинен мати жодної помітної ймовірності негативної бічної довжини :-).

— whuber

Точне. Я перефразував проблему, щоб зробити її трохи зрозумілішою. І так, SD буде невеликим щодо розмірів.

— Bossykena

Використовуючи формули для множення та додавання, ви можете спробувати розширення Тейлора.

Дякуємо за ваші чудові відповіді, які (наскільки я можу сказати з моїм обмеженим досвідом статистики) є інтуїтивно зрозумілими та здоровими.

— Bossykena

Відповіді:

У цій інтерпретації трикутник - це правильний трикутник бічних довжин та розподілених бінормально з очікуванням та , стандартними відхиленнями та та кореляцією . Ми шукаємо розподілу . Для цього стандартизуйте і так, щоб $X$ $Y$ $\mu_x$ $\mu_y$ $\sigma_x$ $\sigma_y$ $\rho$ $\arctan(Y/X)$ $X$ $Y$

X = σ_{x} ξ + μ_{x}

$X = \sigma_x \xi + \mu_x$

Y = σ_{y} η + μ_{y}

$Y = \sigma_y \eta + \mu_y$

з і стандартні нормальні величини з кореляцією . Нехай - кут, а для зручності запишіть . Потім $\xi$ $\eta$ $\rho$ $\theta$ $q = \tan(\theta)$

P [\arctan (Y / X) \leq θ] = P [Y \leq q X]

$\mathbb{P}[\arctan(Y/X) \le \theta] = \mathbb{P}[Y \le q X]$

= P [σ_{y} η + μ_{y} \leq q (σ_{x} ξ + μ_{x})

$=\mathbb{P}[\sigma_y \eta + \mu_y \le q \left( \sigma_x \xi + \mu_x \right)$

= P [σ_{y} η - q σ_{x} ξ \leq q μ_{x} - μ_{y}]

$=\mathbb{P}[\sigma_y \eta - q \sigma_x \xi \le q \mu_x - \mu_y]$

Ліва сторона, будучи лінійною комбінацією нормалів, є нормальною, середнє та дисперсія . $\mu_y \sigma_y - q \mu_x \sigma_x$ $\sigma_y^2 + q^2 \sigma_x^2 - 2 q \rho \sigma_x \sigma_y$

Диференціюючи нормальний cdf цих параметрів щодо виходить pdf кута. Вираз є досить грізним, але ключовою його частиною є експонентність $\theta$

\exp (- \frac{(μ_{y} (σ_{y} + 1) - μ_{x} (σ_{x} + 1) \tan (θ))^{2}}{2 (- 2 ρ σ_{x} σ_{y} \tan (θ) + σ_{x}^{2} + σ_{y}^{2} + \tan^{2} (θ))}),

$\exp \left(-\frac{\left(\mu _y \left(\sigma _y+1\right)-\mu _x \left(\sigma _x+1\right) \tan (\theta )\right){}^2}{2 \left(-2 \rho \sigma _x \sigma _y \tan (\theta )+\sigma _x^2+\sigma _y^2+\tan ^2(\theta )\right)}\right),$

показуючи відразу, що кут зазвичай не розподілений. Однак, як показують ваші симуляції та інтуїція, це повинно бути приблизно нормальним, якщо відхилення довжини бічних сторін невеликі порівняно із самими довжинами. У цьому випадку наближення Саддленпой повинно дати хороші результати для конкретних значень , , , та , хоча загальне рішення закритої форми недоступне. Орієнтовне стандартне відхилення випаде прямо після знаходження другої похідної (стосовно $\mu_x$ $\mu_y$ $\sigma_x$ $\sigma_y$ $\rho$ $\theta$ ) логарифму pdf (як показано в рівняннях (2.6) та (3.1) посилання). Я рекомендую систему комп'ютерної алгебри (наприклад, MatLab або Mathematica) для цього!

— дзижчати
джерело

[- π, π)

$[-\pi, \pi)$

P(Y/X

\leq

$\le$ q) = P(Y

\leq

$\le$ qX) is not correct if X is a normal r.v. - X can be negative too.

— ronaf

@ronaf: actually, since

X

$X$ and

Y

$Y$ are the side lengths of a physical triangle, we should not have negative

X

$X$ !

— shabbychef

@ronaf: That's the right idea. If one uses signed side lengths and also considers the angle as a real value (rather than its value modulo

2 π

$2\pi$ ), there is no inconsistency with normality in either case. Your point about the inequality possibly being wrong is excellent. All I can do in response is to claim that the equation is an excellent approximation under the assumptions made because the chance of X or Y being negative is negligible.

— whuber

@YBE I agree that the last "+" in my expression looks like it doesn't belong--it might have slipped in when I was cleaning up the TeX markup. I don't have a reference because I computed the derivative myself.

— whuber

You are looking at circular statistics and in particular a circular distribution called the projected normal distribution.

For some reason this topic can be a little hard to google, but the two major texts on circular statistics are The Statistical Analysis of Circular Data by Fisher and Directional Statistics by Mardia and Jupp.

For a thorough analysis of the projected normal distribution see page 46 of Mardia and Jupp. There are closed form expressions (up to the error function integral) for the distribution, and as whuber has suggested, it looks similar to the normal when its `variance' (careful here, what does variance mean for a random variable on a circle?!) is small, i.e. when the distribution is quite concentrated at one point (or direction or angle).

— Robby McKilliam
джерело