Яка проблема чи гра - оптимальні рішення варіабельності та стандартного відхилення?

Для даної випадкової величини (або сукупності, або стохастичного процесу) математичне очікування є відповіддю на питання Який бальний прогноз мінімізує очікувані квадратні втрати? . Крім того, це оптимальне рішення для гри Вгадайте наступну реалізацію випадкової величини (або нове розіграш у сукупності), і я покараю вас за відстань у квадраті між значенням та вашою здогадкою, якщо у вас лінійна невмілість в термінах покарання. Медіана - це відповідь на відповідне запитання під абсолютною втратою, а режим - це відповідь під втратою "все або нічого".

Запитання: Чи відповідає дисперсія та стандартне відхилення на подібні запитання? Хто вони?

Мотивація цього питання випливає з викладання основних заходів центральної тенденції та поширення. Хоча заходи центральної тенденції можуть бути мотивовані теоретичними проблемами рішення, наведеними вище, мені цікаво, як можна мотивувати заходи поширення.

— Річард Харді
джерело

Дуже цікаве запитання. Мій початковий підхід полягав би в тому, що "гра" є якісно такою ж, як ви вже описуєте, за винятком того, що питання очікує, що відповідь (не каламбур) відповідатиме про діапазон значень замість однієї точки, оскільки поширюється без точки посилання є досить неповною (якщо не безглуздою) інформацією.

— Еміль

Зауважте, що дисперсія сама по собі є очікуванням - якщо то .

Y = (X - μ)^{2}

$Y=(X-\mu)^2$

Var (X) = E (Y)

$\text{Var}(X)=E(Y)$

— Glen_b -Встановити Моніку

@Glen_b, ти маєш рацію, і я це зрозумів (я мав би це включити до тексту запитання). "Вгадайте різницю між наступним значенням та очікуванням, і я покараю вас квадратично", це була б гра. Це найкраще? Не дуже практична або дуже весела гра, ІМХО.

— Річард Харді

Якщо я зрозумів це питання за призначенням, ви маєте на увазі параметр, в якому ви можете отримати незалежні реалізації будь-якої випадкової величини з будь-яким розподілом (маючи кінцеву дисперсію ). "Гра" визначається функціями і які потрібно описати. Він складається з наступних кроків та правил: $X$ $F$ $\sigma^2(F)$ $h$ $\mathcal L$

Ваш опонент ("Природа") виявляє $F.$
У відповідь ви створюєте число ваше "передбачення". $t(F),$

Для оцінки результату гри проводяться такі розрахунки:

Зразок iid спостережень з $n$ $\mathbf{X}=X_1, X_2, \ldots, X_n$ $F.$
Заздалегідь визначена функція застосовується до вибірки, створюючи число "статистику". $h$ $h(\mathbf{X}),$
"Функція втрати" порівнює ваше "передбачення" зі статистикою отримуючи негативне число $\mathcal{L}$ $t(F)$ $h(\mathbf{X}),$ $\mathcal{L}(t(F), h(\mathbf{X})).$
Результатом гри є очікувана втрата (або "ризик")
$R_{(L, h)} (t, F) = E (L (t (F), h (X))) .$ $R_{(\mathcal{L}, h)}(t, F) = E(\mathcal{L}(t(F), h(\mathbf{X}))).$

Ваша мета - реагувати на хід природи, вказавши трохи що мінімізує ризик. $t$

Наприклад, у грі з функцією та будь-якою втратою форми для деякого додатного числа ваш оптимальний хід - щоб вибрати , щоб бути очікування $h(X_1)=X_1$ $\mathcal{L}(t, h) = \lambda(t-h)^2$ $\lambda,$ $t(F)$ $F.$

Питання перед нами:

Чи існують і для яких оптимальним рухом є вибір для дисперсії ? $\mathcal{L}$ $h$ $t(F)$ $\sigma^2(F)$

На це можна легко відповісти, демонструючи дисперсію як очікування. Один із способів - встановити, що і продовжувати використовувати квадратичну втрату Помітивши це

h (X_{1}, X_{2}) = \frac{1}{2} (X_{1} - X_{2})^{2}

$h(X_1,X_2) = \frac{1}{2}(X_1-X_2)^2$

L (t, h) = (t - h)^{2} .

$\mathcal{L}(t,h) = (t-h)^2.$

E (h (X)) = σ^{2} (F),

$E(h(\mathbf{X})) = \sigma^2(F),$

приклад дозволяє зробити висновок, що цей і цей відповідають на питання про дисперсію. $h$ $\mathcal L$

Як щодо стандартного відхилення ? Знову ж таки, нам потрібно лише демонструвати це як очікування вибіркової статистики. Однак це неможливо, оскільки навіть якщо ми обмежимо сімейством Бернуллі розподілів, ми можемо отримати лише неупереджені оцінювачі поліноміальних функцій але не є поліноміальною функцією в області (Див. Щодо біноміального розподілу, чому не існує неупередженого оцінювача для ? Для загального аргументу щодо біноміальних розподілів, до якого це питання можна звести після усереднення $\sigma(F)$ $F$ $(p)$ $p,$ $\sigma(F) = \sqrt{p(1-p)}$ $p\in (0,1).$ $1/p$ $h$ над усіма перестановками) $X_i.$

— дзижчати
джерело

Дякую за чітке сформулювання мого запитання та не менш чітку відповідь. Чи маєте ви також приклад який залежить від усіх точок вибірки, а не лише двох?

h

$h$

n

$n$

— Річард Харді

Існує стандартний спосіб перейти від до : обчислити статистику для всіх пар і середнє значення. Дійсно, це дає мою характеристику коваріації на сайті stats.stackexchange.com/a/18200/919 . Для формальної теорії це, прочитати про статистикою U .

2

$2$

n

$n$

— whuber

Дуже дякую!

— Річард Харді