Знайдіть UMVUE з

Дозволяє $X_1, X_2, . . . , X_n$ не бути випадковими змінними, що мають pdf

$f_{X} (x ∣ θ) = θ (1 + x)^{- (1 + θ)} I_{(0, \infty)} (x)$ $f_X(x\mid\theta) =\theta(1 +x)^{−(1+\theta)}I_{(0,\infty)}(x)$

де $\theta >0$ . Дайте UMVUE від $\frac{1}{\theta}$ і обчислити її дисперсію

Я дізнався про два таких методи для отримання UMVUE:

Нижня межа Крамер-Рао (CRLB)
Леманн-Шеффем

Я збираюся спробувати це, використовуючи колишнє з двох. Я мушу визнати, що я не зовсім розумію, що відбувається тут, і я грунтуюся на спробі вирішення прикладу проблеми. Я маю це $f_X(x\mid\theta)$ є повноцінною однопараметричною експоненціальною сім'єю

$h(x)=I_{(0,\infty)}$ , $c(\theta)=\theta$ , $w(\theta)=-(1+\theta)$ , $t(x)=\text{log}(1+x)$

З тих пір $w'(\theta)=1$ не ввімкнено $\Theta$ , застосовується результат CRLB. Ми маємо

log f_{X} (x ∣ θ) = log (θ) - (1 + θ) \cdot log (1 + x)

$\text{log }f_X(x\mid\theta)=\text{log}(\theta)-(1+\theta)\cdot\text{log}(1+x)$

\frac{\partial}{\partial θ} log f_{X} (x ∣ θ) = \frac{1}{θ} - log (1 + x)

$\frac{\partial}{\partial \theta}\text{log }f_X(x\mid\theta)=\frac{1}{\theta}-\text{log}(1+x)$

\frac{\partial^{2}}{\partial θ^{2}} log f_{X} (x ∣ θ) = - \frac{1}{θ^{2}}

$\frac{\partial^2}{\partial \theta^2}\text{log }f_X(x\mid\theta)=-\frac{1}{\theta^2}$

тому

I_{1} (θ) = - E (- \frac{1}{θ^{2}}) = \frac{1}{θ^{2}}

$I_1(\theta)=-\mathsf E\left(-\frac{1}{\theta^2}\right)=\frac{1}{\theta^2}$

та CRLB для неупереджених оцінювачів $\tau(\theta)$ є

\frac{[τ^{'} (θ)]^{2}}{n \cdot I_{1} (θ)} = \frac{θ^{2}}{n} [τ^{'} (θ)]^{2}

$\frac{[\tau'(\theta)]^2}{n\cdot I _1(\theta)} = \frac{\theta^2}{n}[\tau'(\theta)]^2$

З тих пір

\sum_{i = 1}^{n} t (X_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} log (1 + X_{i})

$\sum_{i=1}^n t(X_i)=\sum_{i=1}^n \text{log}(1+X_i)$

то будь-яка лінійна функція $\sum_{i=1}^n \text{log}(1+X_i)$ або еквівалентно будь-якій лінійній функції $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \text{log}(1+X_i)$ , досягне CRLB своїх очікувань, і, таким чином, буде UMVUE своїх очікувань. З тих пір $\mathsf E(\text{log}(1+X))=\frac{1}{\theta}$ ми маємо, що UMVUE від $\frac{1}{\theta}$ є $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \text{log}(1+X_i)$

Для природної параметризації ми можемо дозволити $\eta=-(1+\theta)\Rightarrow \theta=-(\eta+1)$

Тоді

V a r (log (1 + X)) = \frac{d}{d η} (- \frac{1}{η + 1}) = \frac{1}{(η + 1)^{2}} = \frac{1}{θ^{2}}

$\mathsf{Var}(\text{log}(1+X))=\frac{d}{d\eta}\left(-\frac{1}{\eta+1}\right)=\frac{1}{(\eta+1)^2}=\frac{1}{\theta^2}$

Це правильне рішення? Чи є більш простий підхід? Чи працює цей метод лише тоді, коли $\mathsf E(t(x))$ дорівнює тому, що ви намагаєтесь оцінити?

— Ремі
джерело

У той момент, коли ви показали, що pdf є членом однопараметричної експоненціальної родини, відразу зрозуміло, що повна достатня статистика для сім'ї

T (X_{1}, \dots, X_{n}) = \sum_{i = 1}^{n} \ln (1 + X_{i})

$T(X_1,\ldots,X_n)=\sum_{i=1}^n\ln(1+X_i)$ Оскільки, як ви кажете,

E (T / n) = \frac{1}{θ}

$E(T/n)=\frac{1}{\theta}$ ,

T / n

$T/n$ є UMVUE з

1 / θ

$1/\theta$ за теоремою Леманна-Шеффе.

— StubbornAtom

Тож та частина, де я маю «З тих пір

w^{'} (θ) = 1

$w'(\theta)=1$ це нуль .....

\frac{θ^{2}}{n} [τ^{'} (θ)]^{2}

$\frac{\theta^2}{n}[\tau'(\theta)]^2$ "Не має значення?

— Ремі

Не зовсім; дисперсія

T

$T$ простіше знайти за допомогою CRLB. Отже, щоб вирішити обидва питання відразу, ваш аргумент достатній.

— StubbornAtom

Щоб знайти варіант, я б взяв

\frac{θ^{2}}{n} [τ^{'} (θ)]^{2} = \frac{θ^{2}}{n} {(- \frac{1}{θ^{2}})}^{2} = \frac{1}{n θ^{2}}

$\frac{\theta^2}{n}[\tau'(\theta)]^2=\frac{\theta^2}{n}\left(-\frac{1}{\theta^2}\right)^2=\frac{1}{n\theta^2}$ ? Отже, раніше я це робив неправильно?

— Ремі

Так, це дисперсія

T

$T$ . Точно.

— StubbornAtom

Ваші міркування здебільшого вірні.

Щільність суглоба зразка $(X_1,X_2,\ldots,X_n)$ є

\begin{aligned} f_{θ} (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) & = \frac{θ^{n}}{{(\prod_{i = 1}^{n} (1 + x_{i}))}^{1 + θ}} 1_{x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n} > 0}, θ > 0 \\ ⟹ \ln f_{θ} (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) & = n \ln (θ) - (1 + θ) \sum_{i = 1}^{n} \ln (1 + x_{i}) + \ln (1_{min_{1 \leq i \leq n} x_{i} > 0}) \\ ⟹ \frac{\partial}{\partial θ} \ln f_{θ} (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) & = \frac{n}{θ} - \sum_{i = 1}^{n} \ln (1 + x_{i}) \\ = - n (\frac{\sum_{i = 1}^{n} \ln (1 + x_{i})}{n} - \frac{1}{θ}) \end{aligned}

$\begin{align} f_{\theta}(x_1,x_2,\ldots,x_n)&=\frac{\theta^n}{\left(\prod_{i=1}^n (1+x_i)\right)^{1+\theta}}\mathbf1_{x_1,x_2,\ldots,x_n>0}\qquad,\,\theta>0 \\\\\implies \ln f_{\theta}(x_1,x_2,\ldots,x_n)&=n\ln(\theta)-(1+\theta)\sum_{i=1}^n\ln(1+x_i)+\ln(\mathbf1_{\min_{1\le i\le n} x_i>0}) \\\\\implies\frac{\partial}{\partial \theta}\ln f_{\theta}(x_1,x_2,\ldots,x_n)&=\frac{n}{\theta}-\sum_{i=1}^n\ln(1+x_i) \\\\&=-n\left(\frac{\sum_{i=1}^n\ln(1+x_i)}{n}-\frac{1}{\theta}\right) \end{align}$

Thus we have expressed the score function in the form

\begin{matrix} (1) & \frac{\partial}{\partial θ} \ln f_{θ} (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) = k (θ) (T (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) - \frac{1}{θ}) \end{matrix}

$\frac{\partial}{\partial \theta}\ln f_{\theta}(x_1,x_2,\ldots,x_n)=k(\theta)\left(T(x_1,x_2,\ldots,x_n)-\frac{1}{\theta}\right)\tag{1}$

, which is the equality condition in the Cramér-Rao inequality.

It is not difficult to verify that

\begin{matrix} (2) & E (T) = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} \underset{= 1 / θ}{\underset{⏟}{E (\ln (1 + X_{i}))}} = \frac{1}{θ} \end{matrix}

$E(T)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\underbrace{E(\ln(1+X_i))}_{=1/\theta}=\frac{1}{\theta}\tag{2}$

From $(1)$ and $(2)$ we can conclude that

The statistic $T(X_1,X_2,\ldots,X_n)$ is an unbiased estimator of $1/\theta$ .
$T$ satisfies the equality condition of the Cramér-Rao inequality.

These two facts together imply that $T$ is the UMVUE of $1/\theta$ .

The second bullet actually tells us that variance of $T$ attains the Cramér-Rao lower bound for $1/\theta$ .

Indeed, as you have shown,

E_{θ} [\frac{\partial^{2}}{\partial θ^{2}} \ln f_{θ} (X_{1})] = - \frac{1}{θ^{2}}

$E_{\theta}\left[\frac{\partial^2}{\partial\theta^2}\ln f_{\theta}(X_1)\right]=-\frac{1}{\theta^2}$

This implies that the information function for the whole sample is

I (θ) = - n E_{θ} [\frac{\partial^{2}}{\partial θ^{2}} \ln f_{θ} (X_{1})] = \frac{n}{θ^{2}}

$I(\theta)=-nE_{\theta}\left[\frac{\partial^2}{\partial\theta^2}\ln f_{\theta}(X_1)\right]=\frac{n}{\theta^2}$

So the Cramér-Rao lower bound for $1/\theta$ and hence the variance of the UMVUE is

Var (T) = \frac{{[\frac{d}{d θ} (\frac{1}{θ})]}^{2}}{I (θ)} = \frac{1}{n θ^{2}}

$\operatorname{Var}(T)=\frac{\left[\frac{d}{d\theta}\left(\frac{1}{\theta}\right)\right]^2}{I(\theta)}=\frac{1}{n\theta^2}$

Here we have exploited a corollary of the Cramér-Rao inequality, which says that for a family of distributions $f$ parametrised by $\theta$ (assuming regularity conditions of CR inequality to hold), if a statistic $T$ is unbiased for $g(\theta)$ for some function $g$ and if it satisfies the condition of equality in the CR inequality, namely

\frac{\partial}{\partial θ} \ln f_{θ} (x) = k (θ) (T (x) - g (θ))

$\frac{\partial}{\partial\theta}\ln f_{\theta}(x)=k(\theta)\left(T(x)-g(\theta)\right)$ , then

T

$T$ must be the UMVUE of

g (θ)

$g(\theta)$ . So this argument does not work in every problem.

Alternatively, using the Lehmann-Scheffe theorem you could say that $T=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \ln(1+X_i)$ is the UMVUE of $1/\theta$ as it is unbiased for $1/\theta$ and is a complete sufficient statistic for the family of distributions. That $T$ is compete sufficient is clear from the structure of the joint density of the sample in terms of a one-parameter exponential family. But variance of $T$ might be a little tricky to find directly.

— StubbornAtom
джерело

One could also use the distribution of

T

$T$ to find its mean,variance.

— StubbornAtom