Чи існують асимптотики третього порядку?

Більшість асимптотичних результатів статистики доводять, що як оцінювач (такий як MLE) переходить до нормального розподілу на основі тейлорного розширення функції ймовірності другого порядку. Я вважаю, що подібний результат є в байєсівській літературі, "Байєсівській теоремі про граничну границю", яка показує, що задній зближується асимптотично до норми, як$n \rightarrow \infty$$n \rightarrow \infty$

Моє запитання - чи розподіляється розподіл до чогось "до", це стає нормальним, грунтуючись на третьому терміні в серії Тейлора? Або це взагалі неможливо зробити?

Ви шукаєте серію Edgeworth, чи не так?

http://en.wikipedia.org/wiki/Edgeworth_series#Edgeworth_series

(зауважте, що Еджворт помер у 1926 році, мусить бути у найвідоміших статистиків?)

Неможливо послідовність "сходитися" до однієї речі, а потім до іншої. Терміни вищого порядку при асимптотичному розширенні перейдуть до нуля. Те, що вони вам скажуть, - наскільки вони близькі до нуля за будь-якого заданого значення .$n$

Для теореми центрального граничного значення (як приклад) відповідним розширенням є логарифм характерної функції: кумуляторна генеруюча функція (cgf). Стандартизація розподілів фіксує нульовий, перший та другий члени cgf. Решта членів, коефіцієнти яких є кумулянтами , впорядковано залежать від . Стандартизації , що відбувається в ЦПТ (ділення суми п випадкових величин ніж - то , пропорційної п 1 / 2 --without , який не буде відбуватися збіжність) призводить до того , м е кумулянт - які в кінцевому рахунку , залежить від т - й хвилини - до ділити на ( $n$$n$$n^{1/2}$$m^\text{th}$$m^\text{th}$ , але в той же самий частому що ми підсумовуванняптерміни, чистий результатом є тещо м - й терміну порядку пропорційнап / п м / 2 = п - ( т - 2 ) / 2 . Таким чином, третій кумулянт стандартизованої суми пропорційний1 / п 1 / 2 , четвертий кумулянт пропорційна1 /$(n^{1/2})^m = n^{m/2}$$n$$m^\text{th}$$n/n^{m/2} = n^{-(m-2)/2}$$1/n^{1/2}$$1/n$, і так далі. Це умови вищого порядку. (Детальніше дивіться, наприклад, цей документ Юваля Філімуса .)

Взагалі висока негативна потужність набагато менша, ніж низька негативна. У цьому ми завжди можемо бути впевнені, приймаючи досить велике значення n . Таким чином, для дійсно великих n ми можемо нехтувати усіма негативними силами n : вони сходяться до нуля. По дорозі до конвергенції, відхилення від граничної межі вимірюється при збільшенні точності додаткового умовою: 1 / п 1 / 2 Терміну є початковим «виправленням» або відхилення від граничного значення; наступний 1 /$n$$n$$n$$n$$1/n^{1/2}$$1/n$термін - це менша, швидше зникаюча корекція, що додається до цього тощо. Якщо коротко, додаткові умови дають вам уявлення про те, як швидко послідовність переходить до межі.

Ці додаткові умови можуть допомогти нам внести виправлення для кінцевих (зазвичай малих) значень . Вони показують весь час в зв'язку з цим, наприклад, модифікацією Чена Т-тест , який використовує третій порядок ( 1 / п 1 / 2 ) члена.$n$$1/n^{1/2}$

Ось спроба відповісти на ваше проникливе запитання. Я бачив включення 3-го члена серії Тейлора для збільшення швидкості конвергенції ряду до справжнього розподілу. Однак я не бачив (за своїм обмеженим досвідом) використання третього і вище моменту.

Як вказував Джон Д. Кук у своїх блогах ( тут і тут ), окрім теореми Беррі-Ессена, в цьому напрямку не було багато роботи . Моє припущення було б (від спостереження в блозі про похибки наближення бути обмежена ), так як асимптотична нормальність ОМП забезпечується при швидкості сходяться в п 1 / 2 ( п , будучи зразок розміру), враховуючи, що більш високі моменти не покращать результат нормальності.$n^{1/2}$$n^{1/2}$$n$

Тому, я думаю, відповідь на ваше запитання повинна бути ні . Асимптотичний розподіл переходить у нормальний стан (за CLT, в умовах регулярності CLT Ліндберга). Однак використання умов вищого порядку може збільшити швидкість конвергенції до асимптотичного розподілу.

Безумовно, це не моя область, але я впевнений, що існують асимптотики третього та вищого порядку. Це будь-яка допомога?

Роберт Л. Штрадерман. Асимптотичне наближення вищого порядку: Журнал Лапласа, Сіддленд та споріднені методики Американської статистичної асоціації Vol. 95, № 452 (груд. 2000 р.), Стор 1358-1364