Інформаційна матриця, що спостерігається, є послідовною оцінкою очікуваної інформаційної матриці?

Я намагаюся довести, що спостережувана інформаційна матриця, оцінена за слабко послідовним оцінкою максимальної ймовірності (MLE), є слабко послідовним оцінником очікуваної інформаційної матриці. Це широко цитований результат, але ніхто не дає посилань чи доказів (я вичерпав, я думаю, перші 20 сторінок результатів Google і мої підручники з статистикою)!

Використовуючи слабко послідовну послідовність MLE, я можу використовувати слабкий закон великих чисел (WLLN) та теорему безперервного відображення, щоб отримати бажаний результат. Однак я вважаю, що теорему безперервного відображення неможливо використовувати. Натомість я думаю, що потрібно використовувати єдиний закон великих чисел (ULLN). Хтось знає про посилання, яке підтверджує це? У мене є спроба ULLN, але поки що пропустімо її для стислості.

Прошу вибачення за тривалість цього питання, але нотацію потрібно ввести. Позначення є нахабними (моє доказ в кінці).

Припустимо, у нас є iid вибірки випадкових величин $\{Y_1,\ldots,Y_N\}$ з щільністю $f(\tilde{Y}|\theta)$ , де $\theta\in\Theta\subseteq\mathbb{R}^{k}$ (тут $\tilde{Y}$ - просто загальна випадкова величина з однаковою щільністю як будь-який із членів вибірки). Вектор $Y=(Y_1,\ldots,Y_N)^{T}$ - вектор усіх зразків векторів, де $Y_{i}\in\mathbb{R}^{n}$ для всіх$i=1,\ldots,N$. Істинне значення параметра з щільності$\theta_{0}$ і θ N (Y)є слабо заможної оцінкою максимальної правдоподібності (MLE) з & thetas 0 . При дотриманні умов регулярності матрицю інформації Фішера можна записати як$\hat{\theta}_{N}(Y)$$\theta_{0}$

де ${H}_{\theta}$ - матриця Гессі. Вибірковий еквівалент дорівнює

де $I_{y_i}=-E_\theta \left[H_{\theta}(\log f(Y_{i}|\theta)\right]$ .

$J(\theta) = -H_\theta(\log f(y|\theta)$ ,

(Деякі люди вимагають матриця оцінюється в & thetas , але деякі цього не роблять). Вибірка спостережуваної інформаційної матриці становить;$\hat{\theta}$

$J_N(\theta)=\sum_{i=1}^N J_{y_i}(\theta)$

де $J_{y_i}(\theta)=-H_\theta(\log f(y_{i}|\theta)$ .

Я можу довести збіжність за ймовірністю оцінювання $N^{-1}J_N(\theta)$ до $I(\theta)$ , але не $N^{-1}J_{N}(\hat{\theta}_N(Y))$ , щоб $I(\theta_{0})$ . Ось мій доказ поки що;

Тепер $(J_{N}(\theta))_{rs}=-\sum_{i=1}^N (H_\theta(\log f(Y_i|\theta))_{rs}$ є елементом $(r,s)$ з $J_N(\theta)$ , для будь-якого $r,s=1,\ldots,k$. Якщо зразок IID, то в силу слабкого закону великих чисел (WLLN), середнє значення цих доданків сходиться по ймовірності до $-E_{\theta}[(H_\theta(\log f(Y_{1}|\theta))_{rs}]=(I_{Y_1}(\theta))_{rs}=(I(\theta))_{rs}$ . Таким чином $N^{-1}(J_N(\theta))_{rs}\overset{P}{\rightarrow}(I(\theta))_{rs}$ для всіх$r,s=1,\ldots,k$, і так$N^{-1}J_N(\theta)\overset{P}{\rightarrow}I(\theta)$. На жальми не можемо просто зробити висновок$N^{-1}J_{N}(\hat{\theta}_N(Y))\overset{P}{\rightarrow}I(\theta_0)$ by using the continuous mapping theorem since $N^{-1}J_{N}(\cdot)$ is not the same function as $I(\cdot)$.

Any help on this would be greatly appreciated.

$\newcommand{\convp}{\stackrel{P}{\longrightarrow}}$

I guess directly establishing some sort of uniform law of large numbers is one possible approach.

Here is another.

We want to show that $\frac{J^N(\theta_{MLE})}{N} \convp I(\theta^*)$.

(As you said, we have by the WLLN that $\frac{J^N(\theta)}{N} \convp I(\theta)$. But this doesn't directly help us.)

One possible strategy is to show that

and

If both of the results are true, then we can combine them to get

which is exactly what we want to show.

The first equation follows from the weak law of large numbers.

The second almost follows from the continuous mapping theorem, but unfortunately our function $g()$ that we want to apply the CMT to changes with $N$: our $g$ is really $g_N(\theta) := \frac{J^N(\theta)}{N}$. So we cannot use the CMT.

(Comment: If you examine the proof of the CMT on Wikipedia, notice that the set $B_\delta$ they define in their proof for us now also depends on $n$. We essentially need some sort of equicontinuity at $\theta^*$ over our functions $g_N(\theta)$.)

Fortunately, if you assume that the family $\mathcal{G} = \{g_N | N=1,2,\ldots\}$ is stochastically equicontinuous at $\theta^*$, then it immediately follows that for $\theta_{MLE} \convp \theta^*$,

(See here: http://www.cs.berkeley.edu/~jordan/courses/210B-spring07/lectures/stat210b_lecture_12.pdf for a definition of stochastic equicontinuity at $\theta^*$, and a proof of the above fact.)

Therefore, assuming that $\mathcal{G}$ is SE at $\theta^*$, your desired result holds true and the empirical Fisher information converges to the population Fisher information.

Now, the key question of course is, what sort of conditions do you need to impose on $\mathcal{G}$ to get SE? It looks like one way to do this is to establish a Lipshitz condition on the entire class of functions $\mathcal{G}$ (see here: http://econ.duke.edu/uploads/media_items/uniform-convergence-and-stochastic-equicontinuity.original.pdf ).

The answer above using stochastic equicontinuity works very well, but here I am answering my own question by using a uniform law of large numbers to show that the observed information matrix is a strongly consistent estimator of the information matrix , i.e. $N^{-1}J_{N}(\hat{\theta}_{N}(Y))\overset{a.s.}{\longrightarrow}I(\theta_{0})$ if we plug-in a strongly consistent sequence of estimators. I hope it is correct in all details.

We will use $I_{N}=\{1,2,...,N\}$ to be an index set, and let us temporarily adopt the notation $J(\tilde{Y},\theta):=J(\theta)$ in order to be explicit about the dependence of $J(\theta)$ on the random vector $\tilde{Y}$. We shall also work elementwise with $(J(\tilde{Y},\theta))_{rs}$ and $(J_{N}(\theta))_{rs}=\sum\nolimits_{i=1}^{N}(J(Y_{i},\theta))_{rs}$, $r,s=1,...,k$, for this discussion. The function $(J(\cdot,\theta))_{rs}$ is real-valued on the set $\mathbb{R}^{n}\times\Theta^{\circ}$, and we will suppose that it is Lebesgue measurable for every $\theta\in\Theta^{\circ}$. A uniform (strong) law of large numbers defines a set of conditions under which

$\underset{\theta\in\Theta}{\text{sup}}\left|N^{-1}(J_{N}(\theta))_{rs}-E_{\theta}\left[(J(Y_{1},\theta))_{rs}\right]\right|=\nonumber\\ \hspace{60pt}\underset{\theta\in\Theta}{\text{sup}}\left|N^{-1}\sum\nolimits_{i=1}^{N}(J(Y_{i},\theta))_{rs}-(I(\theta))_{rs}\right|\overset{a.s}{\longrightarrow}0\hspace{100pt}(1)$

The conditions that must be satisfied in order that (1) holds are (a) $\Theta^{\circ}$ is a compact set; (b) $(J(\tilde{Y},\theta))_{rs}$ is a continuous function on $\Theta^{\circ}$ with probability 1; (c) for each $\theta\in \Theta^{\circ}$ $(J(\tilde{Y},\theta))_{rs}$ is dominated by a function $h(\tilde{Y})$, i.e. $|(J(\tilde{Y},\theta))_{rs}|<h(\tilde{Y})$; and (d) for each $\theta\in \Theta^{\circ}$ $E_{\theta}[h(\tilde{Y})]<\infty$;. These conditions come from Jennrich (1969, Theorem 2).

Now for any $y_{i}\in\mathbb{R}^{n}$, $i\in I_{N}$ and $\theta'\in S\subseteq\Theta^{\circ}$, the following inequality obviously holds

$\left|N^{-1}\sum\nolimits_{i=1}^{N}(J(y_{i},\theta'))_{rs}-(I(\theta'))_{rs}\right|\leq\underset{\theta\in S}{\text{sup}}\left|N^{-1}\sum\nolimits_{i=1}^{N}(J(y_{i},\theta))_{rs}-(I(\theta))_{rs}\right|.\hspace{50pt}(2)$

Suppose that $\{\hat{\theta}_{N}(Y)\}$ is a strongly consistent sequence of estimators for $\theta_{0}$, and let $\Theta_{N_{1}}=B_{\delta_{N_{1}}}(\theta_{0})\subseteq K\subseteq \Theta^{\circ}$ be an open ball in $\mathbb{R}^{k}$ with radius $\delta_{N_{1}}\rightarrow 0$ as $N_{1}\rightarrow\infty$, and suppose $K$ is compact. Then since $\hat{\theta}_{N}(Y)\in \Theta_{N_{1}}$ for $N$ sufficiently large enough we have $P[\underset{N}{\text{lim}}\{\hat{\theta}_{N}(Y)\in\Theta_{N_{1}}\}]=1$ for sufficiently large $N$. Together with (2) this implies

$P\left[\underset{N\rightarrow\infty}{\text{lim}}\left\{\left|N^{-1}\sum\nolimits_{i=1}^{N}(J(Y_{i},\hat{\theta}_{N}(Y)))_{rs}-(I(\hat{\theta}_{N}(Y)))_{rs}\right|\leq\right.\right.\nonumber\\ \hspace{40pt}\left.\left.\underset{\theta\in\Theta_{N_{1}}}{\text{sup}}\left|N^{-1}\sum\nolimits_{i=1}^{N}(J(Y_{i},\theta))_{rs}-(I(\theta))_{rs}\right|\right\}\right]=1.\hspace{100pt}(3)$

Now $\Theta_{N_{1}}\subseteq\Theta^{\circ}$ implies conditions (a)-(d) of Jennrich (1969, Theorem 2) apply to $\Theta_{N_{1}}$. Thus (1) and (3) imply

$P\left[\underset{N\rightarrow\infty}{\text{lim}}\left\{\left|N^{-1}\sum\nolimits_{i=1}^{N}(J(Y_{i},\hat{\theta}_{N}(Y)))_{rs}-(I(\hat{\theta}_{N}(Y)))_{rs}\right|=0\right\}\right]=1.\hspace{100pt}(4)$

Since $(I(\hat{\theta}_{N}(Y)))_{rs}\overset{a.s.}{\longrightarrow}I(\theta_{0})$ then (4) implies that $N^{-1}(J_{N}(\hat{\theta}_{N}(Y)))_{rs}\overset{a.s.}{\longrightarrow}(I(\theta_{0}))_{rs}$. Note that (3) holds however small $\Theta_{N_{1}}$ is, and so the result in (4) is independent of the choice of $N_{1}$ other than $N_{1}$ must be chosen such that $\Theta_{N_{1}}\subseteq \Theta^{\circ}$. This result holds for all $r,s=1,...,k$, and so in terms of matrices we have $N^{-1}J_{N}(\hat{\theta}_{N}(Y))\overset{a.s.}{\longrightarrow}I(\theta_{0})$.