Інформаційна матриця, що спостерігається, є послідовною оцінкою очікуваної інформаційної матриці?


16

Я намагаюся довести, що спостережувана інформаційна матриця, оцінена за слабко послідовним оцінкою максимальної ймовірності (MLE), є слабко послідовним оцінником очікуваної інформаційної матриці. Це широко цитований результат, але ніхто не дає посилань чи доказів (я вичерпав, я думаю, перші 20 сторінок результатів Google і мої підручники з статистикою)!

Використовуючи слабко послідовну послідовність MLE, я можу використовувати слабкий закон великих чисел (WLLN) та теорему безперервного відображення, щоб отримати бажаний результат. Однак я вважаю, що теорему безперервного відображення неможливо використовувати. Натомість я думаю, що потрібно використовувати єдиний закон великих чисел (ULLN). Хтось знає про посилання, яке підтверджує це? У мене є спроба ULLN, але поки що пропустімо її для стислості.

Прошу вибачення за тривалість цього питання, але нотацію потрібно ввести. Позначення є нахабними (моє доказ в кінці).

Припустимо, у нас є iid вибірки випадкових величин { Y 1 , , Y N }{Y1,,YN} з щільністю f ( ˜ Y | θ )f(Y~|θ) , де θ Θ R kθΘRk (тут ˜ YY~ - просто загальна випадкова величина з однаковою щільністю як будь-який із членів вибірки). Вектор Y = ( Y 1 , ... , Y N ) TY=(Y1,,YN)T - вектор усіх зразків векторів, де Y i R пYiRn для всіхя=1,...,Ni=1,,N. Істинне значення параметра з щільності θ 0θ0 і θ N (Y)є слабо заможної оцінкою максимальної правдоподібності (MLE) з & thetas 0 . При дотриманні умов регулярності матрицю інформації Фішера можна записати якθ^N(Y)θ0

I ( θ ) = - E θ [ H θ ( log f ( ˜ Y | θ ) ]

I(θ)=Eθ[Hθ(logf(Y~|θ)]

де H θHθ - матриця Гессі. Вибірковий еквівалент дорівнює

I N ( θ ) = N i = 1 I y i ( θ ) ,

IN(θ)=i=1NIyi(θ),

де I y i = - E θ [ H θ ( log f ( Y i | θ ) ] )Iyi=Eθ[Hθ(logf(Yi|θ)] .

J ( θ ) = - H θ ( log f ( y | θ )J(θ)=Hθ(logf(y|θ) ,

(Деякі люди вимагають матриця оцінюється в & thetas , але деякі цього не роблять). Вибірка спостережуваної інформаційної матриці становить;θ^

J N ( θ ) = N i = 1 J y i ( θ )JN(θ)=Ni=1Jyi(θ)

де J y i ( θ ) = - H θ ( log f ( y i | θ )Jyi(θ)=Hθ(logf(yi|θ) .

Я можу довести збіжність за ймовірністю оцінювання N - 1 J N ( & thetas ; )N1JN(θ) до I ( & thetas ; )I(θ) , але не N - 1 J N ( θ N ( Y ) )N1JN(θ^N(Y)) , щоб I ( θ 0 )I(θ0) . Ось мій доказ поки що;

Тепер ( J Н ( & thetas ; ) ) г s = - Σ N я = 1 ( Н & thetas ; ( лог - е ( У я | & thetas ; ) ) г и(JN(θ))rs=Ni=1(Hθ(logf(Yi|θ))rs є елементом ( г , їв )(r,s) з J N ( & thetas ; )JN(θ) , для будь-якого г , s = 1 , , kr,s=1,,k. Якщо зразок IID, то в силу слабкого закону великих чисел (WLLN), середнє значення цих доданків сходиться по ймовірності до - Ē thetas ; [ ( H & thetas ; ( лог - F ( Y 1 | & thetas ; ) ) R сек ] = ( я Y 1 ( θ ) ) r s = ( I ( θ ) ) r sEθ[(Hθ(logf(Y1|θ))rs]=(IY1(θ))rs=(I(θ))rs . Таким чином N - 1 ( J N ( θ ))r s P (I(θ) ) r sN1(JN(θ))rsP(I(θ))rs для всіхr,s=1,,kr,s=1,,k, і так N - 1 J N (θ) P I(θ)N1JN(θ)PI(θ). На жальми не можемо просто зробити висновок , N - 1 J N ( θ N (Y)) P Я( 0 ) & thetasN1JN(θ^N(Y))PI(θ0) by using the continuous mapping theorem since N1JN()N1JN() is not the same function as I()I().

Any help on this would be greatly appreciated.



does my answer below address answer your question?
Dapz

1
@Dapz Please accept my sincerest apologies for not replying to you until now - I made the mistake of assuming nobody would answer. Thank-you for your answer below - I have upvoted it since I can see it is most useful, however I need to spend a little time considering it. Thank-you for your time, and I will reply to your post below soon.
dandar

Відповіді:


7

I guess directly establishing some sort of uniform law of large numbers is one possible approach.

Here is another.

We want to show that JN(θMLE)NPI(θ)JN(θMLE)NPI(θ).

(As you said, we have by the WLLN that JN(θ)NPI(θ)JN(θ)NPI(θ). But this doesn't directly help us.)

One possible strategy is to show that |I(θ)JN(θ)N|P0.

|I(θ)JN(θ)N|P0.

and

|JN(θMLE)NJN(θ)N|P0

|JN(θMLE)NJN(θ)N|P0

If both of the results are true, then we can combine them to get |I(θ)JN(θMLE)N|P0,

|I(θ)JN(θMLE)N|P0,

which is exactly what we want to show.

The first equation follows from the weak law of large numbers.

The second almost follows from the continuous mapping theorem, but unfortunately our function g()g() that we want to apply the CMT to changes with NN: our gg is really gN(θ):=JN(θ)NgN(θ):=JN(θ)N. So we cannot use the CMT.

(Comment: If you examine the proof of the CMT on Wikipedia, notice that the set BδBδ they define in their proof for us now also depends on nn. We essentially need some sort of equicontinuity at θθ over our functions gN(θ)gN(θ).)

Fortunately, if you assume that the family G={gN|N=1,2,}G={gN|N=1,2,} is stochastically equicontinuous at θθ, then it immediately follows that for θMLEPθθMLEPθ, |gn(θMLE)gn(θ)|P0.

|gn(θMLE)gn(θ)|P0.

(See here: http://www.cs.berkeley.edu/~jordan/courses/210B-spring07/lectures/stat210b_lecture_12.pdf for a definition of stochastic equicontinuity at θθ, and a proof of the above fact.)

Therefore, assuming that GG is SE at θθ, your desired result holds true and the empirical Fisher information converges to the population Fisher information.

Now, the key question of course is, what sort of conditions do you need to impose on GG to get SE? It looks like one way to do this is to establish a Lipshitz condition on the entire class of functions GG (see here: http://econ.duke.edu/uploads/media_items/uniform-convergence-and-stochastic-equicontinuity.original.pdf ).


1

The answer above using stochastic equicontinuity works very well, but here I am answering my own question by using a uniform law of large numbers to show that the observed information matrix is a strongly consistent estimator of the information matrix , i.e. N1JN(ˆθN(Y))a.s.I(θ0)N1JN(θ^N(Y))a.s.I(θ0) if we plug-in a strongly consistent sequence of estimators. I hope it is correct in all details.

We will use IN={1,2,...,N}IN={1,2,...,N} to be an index set, and let us temporarily adopt the notation J(˜Y,θ):=J(θ)J(Y~,θ):=J(θ) in order to be explicit about the dependence of J(θ)J(θ) on the random vector ˜YY~. We shall also work elementwise with (J(˜Y,θ))rs(J(Y~,θ))rs and (JN(θ))rs=Ni=1(J(Yi,θ))rs(JN(θ))rs=Ni=1(J(Yi,θ))rs, r,s=1,...,k, for this discussion. The function (J(,θ))rs is real-valued on the set Rn×Θ, and we will suppose that it is Lebesgue measurable for every θΘ. A uniform (strong) law of large numbers defines a set of conditions under which

supθΘ|N1(JN(θ))rsEθ[(J(Y1,θ))rs]|=supθΘ|N1Ni=1(J(Yi,θ))rs(I(θ))rs|a.s0(1)

The conditions that must be satisfied in order that (1) holds are (a) Θ is a compact set; (b) (J(˜Y,θ))rs is a continuous function on Θ with probability 1; (c) for each θΘ (J(˜Y,θ))rs is dominated by a function h(˜Y), i.e. |(J(˜Y,θ))rs|<h(˜Y); and (d) for each θΘ Eθ[h(˜Y)]<;. These conditions come from Jennrich (1969, Theorem 2).

Now for any yiRn, iIN and θSΘ, the following inequality obviously holds

|N1Ni=1(J(yi,θ))rs(I(θ))rs|supθS|N1Ni=1(J(yi,θ))rs(I(θ))rs|.(2)

Suppose that {ˆθN(Y)} is a strongly consistent sequence of estimators for θ0, and let ΘN1=BδN1(θ0)KΘ be an open ball in Rk with radius δN10 as N1, and suppose K is compact. Then since ˆθN(Y)ΘN1 for N sufficiently large enough we have P[limN{ˆθN(Y)ΘN1}]=1 for sufficiently large N. Together with (2) this implies

P[limN{|N1Ni=1(J(Yi,ˆθN(Y)))rs(I(ˆθN(Y)))rs|supθΘN1|N1Ni=1(J(Yi,θ))rs(I(θ))rs|}]=1.(3)

Now ΘN1Θ implies conditions (a)-(d) of Jennrich (1969, Theorem 2) apply to ΘN1. Thus (1) and (3) imply

P[limN{|N1Ni=1(J(Yi,ˆθN(Y)))rs(I(ˆθN(Y)))rs|=0}]=1.(4)

Since (I(ˆθN(Y)))rsa.s.I(θ0) then (4) implies that N1(JN(ˆθN(Y)))rsa.s.(I(θ0))rs. Note that (3) holds however small ΘN1 is, and so the result in (4) is independent of the choice of N1 other than N1 must be chosen such that ΘN1Θ. This result holds for all r,s=1,...,k, and so in terms of matrices we have N1JN(ˆθN(Y))a.s.I(θ0).

Використовуючи наш веб-сайт, ви визнаєте, що прочитали та зрозуміли наші Політику щодо файлів cookie та Політику конфіденційності.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.