Варіантність добутку з кількох випадкових змінних

Ми знаємо відповідь на дві незалежні змінні:

V a r (X Y) = E (X^{2} Y^{2}) - (E (X Y))^{2} = V a r (X) V a r (Y) + V a r (X) (E (Y))^{2} + V a r (Y) (E (X))^{2}

${\rm Var}(XY) = E(X^2Y^2) − (E(XY))^2={\rm Var}(X){\rm Var}(Y)+{\rm Var}(X)(E(Y))^2+{\rm Var}(Y)(E(X))^2$

Однак якщо ми візьмемо добуток з більш ніж двох змінних, , то яка б відповідь була щодо дисперсій та очікуваних значень кожної змінної? ${\rm Var}(X_1X_2 \cdots X_n)$

variance random-variable independence

— дамла
джерело

Оскільки

- випадкова величина і (якщо всі

є незалежними), вона не залежить від

, відповідь отримується індуктивно: нічого нового не потрібно. Щоб це не виглядало занадто загадково, техніка не відрізняється від того, що вказувати, що оскільки ви можете додати два числа за допомогою калькулятора, ви можете додати

чисел за допомогою одного і того ж калькулятора лише шляхом повторного додавання.

X_{1} X_{2} \dots X_{n - 1}

$X_1X_2\cdots X_{n-1}$

X_{i}

$X_i$

X_{n}

$X_n$

n

$n$

— whuber

Не могли б ви написати доказ відображеного рівняння? Мені цікаво дізнатись, що сталося з терміном

який повинен дати вам деякі терміни, що стосуються

(E [X Y])^{2}

$(E[XY])^2$

cov (X, Y)

$\operatorname{cov}(X,Y)$

— Діліп Сарват

@DilipSarwate, я підозрюю, що це питання мовчки припускає, що

незалежні. Формула OP є правильною, коли обидва

є некорельованими, а

є некорельованими. Дивіться мою відповідь на пов'язане питання тут .

X

$X$

Y

$Y$

X, Y

$X,Y$

X^{2}, Y^{2}

$X^2, Y^2$

— Макрос

@Macro Я добре знаю питання, які ти піднімаєш. Те, що я намагався змусити ОП зрозуміти та / або зрозуміти для себе, - це те, що для незалежних випадкових змінних так само, як

спрощується до

E [X^{2} Y^{2}]

$E[X^2Y^2]$

спрощується до

E [X^{2} Y^{2}] = E [X^{2}] E [Y^{2}] = (σ_{X}^{2} + μ_{X}^{2}) (σ_{Y}^{2} + μ_{Y}^{2}),

$E[X^2Y^2]=E[X^2]E[Y^2]=(\sigma_X^2+\mu_X^2)(\sigma_Y^2+\mu_Y^2),$

E [(X_{1} \dots X_{n})^{2}]

$E[(X_1\cdots X_n)^2]$

E [(X_{1} \dots X_{n})^{2}] = E [X_{1}^{2}] \dots E [X_{n}^{2}] = \prod_{i = 1}^{n} (σ_{X_{i}}^{2} + μ_{X_{i}}^{2})

$E[(X_1\cdots X_n)^2]=E[X_1^2]\cdots E[X_n^2]=\prod_{i=1}^n(\sigma_{X_i}^2+\mu_{X_i}^2)$ що, на мою думку, є більш прямим способом досягнення кінцевого результату, ніж індуктивний метод, на який вказував Юбер.

— Діліп Сарват

@DilipSarwate, приємно. Я пропоную вам опублікувати це як відповідь, щоб я міг його схвалити!

— Макрос

$X_1, X_2, \cdots , X_n$

\begin{aligned} var (X_{1} \dots X_{n}) & = E [(X_{1} \dots X_{n})^{2}] - {(E [X_{1} \dots X_{n}])}^{2} \\ = E [X_{1}^{2} \dots X_{n}^{2}] - {(E [(X_{1}] \dots E [X_{n}])}^{2} \\ = E [X_{1}^{2}] \dots E [X_{n}^{2}] - (E [X_{1}])^{2} \dots (E [X_{n}])^{2} \\ = \prod_{i = 1}^{n} (var (X_{i}) + (E [X_{i}])^{2}) - \prod_{i = 1}^{n} {(E [X_{i}])}^{2} \end{aligned}

$\begin{align} \operatorname{var}(X_1\cdots X_n) &= E[(X_1\cdots X_n)^2]-\left(E[X_1\cdots X_n]\right)^2\\ &= E[X_1^2\cdots X_n^2]-\left(E[(X_1]\cdots E[X_n]\right)^2\\ &= E[X_1^2]\cdots E[X_n^2] - (E[X_1])^2\cdots (E[X_n])^2\\ &= \prod_{i=1}^n \left(\operatorname{var}(X_i)+(E[X_i])^2\right) - \prod_{i=1}^n \left(E[X_i]\right)^2 \end{align}$

n = 2

$n=2$

n = 2

$n=2$

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

X_{1}^{2}

$X_1^2$

X_{2}^{2}

$X_2^2$

n \geq 3

$n \geq 3$

— Діліп Сарват
джерело

дуже дякую! Я дійсно ціную це. Так, питання стосувалося незалежних випадкових змінних.

— damla

X_{1} = X_{2} = \dots = X_{n} = X

$X_1=X_2=\cdots=X_n=X$

Я опублікував це питання на новій сторінці. Дуже дякую! stats.stackexchange.com/questions/53380/…

— damla

n

$n$

3

$3$