Автоковаріація процесу ARMA (2,1) - виведення аналітичної моделі для

Мені потрібно вивести аналітичні вирази для функції автоковаріації процесу ARMA (2,1), позначеного:$\gamma\left(k\right)$

$y_t=\phi_1y_{t-1}+\phi_2y_{t-2}+\theta_1\epsilon_{t-1}+\epsilon_t$

Отже, я знаю, що:

$\gamma\left(k\right) = \mathrm{E}\left[y_t,y_{t-k}\right]$

тож я можу написати:

$\gamma\left(k\right) = \phi_1 \mathrm{E}\left[y_{t-1}y_{t-k}\right]+\phi_2 \mathrm{E}\left[y_{t-2}y_{t-k}\right]+\theta_1 \mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}y_{t-k}\right]+\mathrm{E}\left[\epsilon_{t}y_{t-k}\right]$

потім, щоб отримати аналітичну версію функції автоковаріації, мені потрібно підміняти значення $k$ - 0, 1, 2 ..., поки я не отримаю рекурсію, дійсна для всіх $k$ більша за деяке ціле число.

Тому я підставляю $k=0$ і проробляю це, щоб отримати:

$$\gamma \left(0\right) = \mathrm{E}\left[y_t,y_t\right] = \phi_1 \mathrm{E}\left[y_{t-1}y_t\right] + \phi_2 \mathrm{E}\left[y_{t-2}y_t\right]+\theta_1 \mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}y_t\right]+\mathrm{E}\left[\epsilon_ty_t\right]\\ $$

тепер я можу спростити перші два з цих умов, а потім замінити $y_t$ як і раніше:

$$\gamma\left(0\right) = \phi_1 \gamma\left(1\right) + \phi_2 \gamma\left(2\right)\\ + \theta_1 \mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1} \left(\phi_1 y_{t-1} +\phi_2 y_{t-2} +\theta_1 \epsilon_{t-1} + \epsilon_t \right)\right]\\ + \mathrm{E}\left[\epsilon_t \left(\phi_1 y_{t-1} +\phi_2 y_{t-2} +\theta_1 \epsilon_{t-1} + \epsilon_t \right)\right]$$

то я помножую на вісім доданків, які є:

$$+\theta_1\phi_1\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}y_{t-1}\right]\\ +\theta_1\phi_2\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}y_{t-2}\right]\\ +\theta_1^2\mathrm{E}\left[\left(\epsilon_{t-1}\right)^2\right]=\theta_1^2\sigma_{\epsilon}^2\\ +\theta_1\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}\epsilon_{t}\right]=\theta_1\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}\right]\mathrm{E}\left[\epsilon_{t}\right]=0\\ +\phi_1\mathrm{E}\left[\epsilon_{t}y_{t-1}\right]\\ +\phi_2\mathrm{E}\left[\epsilon_{t}y_{t-2}\right]\\ +\theta_1\mathrm{E}\left[\epsilon_t\epsilon_{t-1}\right] = \theta_1\mathrm{E}\left[\epsilon_{t}\right]\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}\right]=0 \\ +\mathrm{E}\left[\left(\epsilon_t\right)^2\right] = \sigma_{\epsilon}^2$$

Отже, мені потрібно вирішити чотири інші умови. Я хочу використовувати ту саму логіку для рядків 1, 2, 5 і 6, як і для рядків 4 і 7 - наприклад для рядка 1:

$\theta_1\phi_1\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}y_{t-1}\right] = \theta_1\phi_1\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}\right]\mathrm{E}\left[y_{t-1}\right] = 0$ тому що .$\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}\right]=0$

Аналогічно для рядків 2, 5 і 6. Але у мене є модельне рішення, яке пропонує вираз для спрощує:$\gamma\left(0\right)$

$\gamma\left(0\right) = \phi_1\gamma\left(1\right)+\phi_2\gamma\left(2\right) +\theta_1\left(\phi_1+\theta_1\right)\sigma_{\epsilon}^2+\sigma_{\epsilon}^2$

Це говорить про те, що моє спрощення, як описано вище, пропустило б термін із коефіцієнтом - який, за моєю логікою, повинен бути 0. Чи винна моя логіка, чи модельне рішення, яке я знайшов неправильним?$\phi_1$

Розроблене рішення також передбачає, що "аналогічно" можна знайти як:$\gamma\left(1\right)$

$\gamma\left(1\right) = \phi_1\gamma\left(0\right)+\phi_2\gamma\left(1\right) + \theta_1\sigma_{\epsilon}^2$

а для :$k>1$

$\gamma\left(k\right) = \phi_1\gamma\left(k-1\right)+\phi_2\left(k-2\right)$

Сподіваюся, питання зрозуміле. Будь-яка допомога буде дуже вдячна. Спасибі заздалегідь.

Це питання, пов'язане з моїм дослідженням, і не готується до іспитів чи курсових робіт.

Якщо процес ARMA є причинним, існує загальна формула, яка забезпечує коефіцієнти автоковаріації.

Розглянемо причинно-наслідковий процес де - білий шум із середнім нулем та дисперсією . За властивістю причинності процес можна записати як де позначає ваги.$\text{ARMA}(p,q)$

$$y_t = \sum_{i = 1}^p \phi_i y_{t-1} + \sum_{j = 1}^q \theta_j \epsilon_{t - j} + \epsilon_t,$$ $\epsilon_t$$\sigma_\epsilon^2$ $$y_t = \sum_{j = 0}^\infty \psi_j \epsilon_{t - j},$$ $\psi_j$$\psi$

Загальне однорідне рівняння для коефіцієнтів автоковаріації причинного процесу - з початковими умовами $\text{ARMA}(p,q)$

$$\gamma (k) - \phi_1 \gamma (k-1) - \cdots - \phi_p \gamma (k-p) = 0, \quad k \geq \max (p, q+1),$$ $$\gamma (k) - \sum_{j = 1}^p \phi_j \gamma (k-j) = \sigma_\epsilon^2 \sum_{j = k}^q \theta_j \psi_{j - k}, \quad 0 \leq k < \max (p, q+1).$$

Ваша помилка розрахунку в первісному запитанні полягає

$$\theta_1\phi_1\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}y_{t-1}\right] = \theta_1\phi_1\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}\right]\mathrm{E}\left[y_{t-1}\right] = 0 \qquad \text{(mistaken)}$$

Ви не можете розділити очікування - і не залежать.$\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}y_{t-1}\right]$$\epsilon_{t-1}$$y_{t-1}$

ДОБРЕ. Тож процес написання поста насправді вказував мені на рішення.

Розгляньте умови очікування 1, 2, 5 і 6 зверху, які, на мою думку, мають бути 0.

Безпосередньо для термінів 5 - - і 6 - : ці терміни безумовно нуль, тому що і не залежать від і .$\mathrm{E}\left[\epsilon_ty_{t-1}\right]$$\mathrm{E}\left[\epsilon_ty_{t-2}\right]$$y_{t-1}$$y_{t-2}$$\epsilon_t$$\mathrm{E}\left[\epsilon_t\right] = 0$

Однак умови 1 і 2 виглядають так, ніби Очікування складається з двох корельованих змінних. Отже, розглянемо вирази для і таким чином:$y_{t-1}$$y_{t-2}$

$$y_{t-1} = \phi_1y_{t-2}+\phi_2y_{t-3}+\theta_1\epsilon_{t-2}+\epsilon_{t-1}\\ y_{t-2} = \phi_1y_{t-3}+\phi_2y_{t-4}+\theta_1\epsilon_{t-3}+\epsilon_{t-2}$$

І згадайте термін 1 - . Якщо ми помножимо обидві сторони виразу для на а потім приймаємо очікування, зрозуміло, що всі члени з правого боку, крім останнього, стають нульовими (тому що значення , і не залежать від та ) дати:$\phi_1\theta_1\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}y_{t-1}\right]$$y_{t-1}$$\epsilon_{t-1}$$y_{t-2}$$y_{t-3}$$\epsilon_{t-2}$$\epsilon_{t-1}$$\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}\right]=0$

$$\mathrm{E}\left[\epsilon_{t-1}y_{t-1}\right] = \mathrm{E}\left[\left(\epsilon_{t-1}\right)^2\right] = \sigma_{\epsilon}^2$$

Отже, термін 1 стає . Для терміна 2 повинно бути зрозуміло, що за тією ж логікою всі доданки дорівнюють нулю.$+\phi_1\theta_1\sigma_{\epsilon}^2$

Отже, відповідь оригінальної моделі була правильною.

Однак, якщо хтось може запропонувати альтернативний спосіб отримати загальне (навіть якщо безладне) рішення, я був би дуже радий почути це!