Перетворення стандартизованих бета-версій до оригінальних змінних

Я розумію, що це, мабуть, дуже просте запитання, але після пошуку я не можу знайти відповідь, яку шукаю.

У мене є проблема, коли мені потрібно стандартизувати виконання змінних (регресія хребта), щоб обчислити оцінки хребта бета.

Потім мені потрібно перетворити їх назад у початкову шкалу змінних.

Але як це зробити?

Я знайшов формулу біваріантного випадку, що

β^{*} = \hat{β} \frac{S_{x}}{S_{y}} .

$\beta^* = \hat\beta \frac{S_x}{S_y} \>.$

Це було дано у Д. Гуджараті, Основна економетрія , стор. 175, формула (6.3.8).

Там , де є оцінками з регресії запуску на стандартизованих змінних і така ж оцінка перетвориться назад в вихідний масштаб, являє собою вибіркове стандартне відхилення regressand і це стандартне відхилення вибірки. $\beta^*$ $\hat\beta$ $S_y$ $S_x$

На жаль, книга не покриває аналогічний результат для багаторазової регресії.

Крім того, я не впевнений, що я розумію біваріантний випадок? Проста алгебраїчна маніпуляція дає формулу для в оригінальному масштабі: $\hat\beta$

\hat{β} = β^{*} \frac{S_{y}}{S_{x}}

$\hat\beta=\beta^* \frac{S_y}{S_x}$

Це здається дивним, що , які були розраховані на змінних , які вже спущені на , має бути спущений на знову бути перетворений назад? (Плюс чому середні значення не додаються назад?) $\hat\beta$ $S_x$ $S_x$

Отже, чи можете хтось пояснити, як це зробити для багатовимірного випадку в ідеалі з деривацією, щоб я міг зрозуміти результат?

— Баз
джерело

Для регресійної моделі з використанням стандартизованих змінних ми беремо наступну форму для лінії регресії

E [Y] = β_{0} + \sum_{j = 1}^{k} β_{j} z_{j},

$\mathbb E[Y] =\beta_{0}+\sum_{j=1}^{k}\beta_{j}z_{j},$

$z_{j}$ $x_j$ $\bar x_j$ $S_j$

z_{j} = \frac{x_{j} - {\bar{x}}_{j}}{S_{j}}

$z_j = \frac{x_j - \bar{x}_j}{S_j}$

Здійснюючи регресію зі стандартизованими регресорами, ми отримуємо пристосовану лінію регресії:

\hat{Y} = {\hat{β}}_{0} + \sum_{j = 1}^{k} {\hat{β}}_{j} z_{j}

$\hat Y = \hat \beta_0 +\sum_{j=1}^{k} \hat \beta_{j}z_{j}$

Тепер ми хочемо знайти коефіцієнти регресії для нестандартних прогнозів. Ми маємо

\hat{Y} = {\hat{β}}_{0} + \sum_{j = 1}^{k} {\hat{β}}_{j} (\frac{x_{j} - {\bar{x}}_{j}}{S_{j}})

$\hat Y = \hat \beta_0 +\sum_{j=1}^{k} \hat \beta_{j}\left(\frac{x_j - \bar{x}_j}{S_j}\right)$

Перестановивши цей вираз можна записати як

\hat{Y} = ({\hat{β}}_{0} - \sum_{j = 1}^{k} {\hat{β}}_{j} \frac{{\bar{x}}_{j}}{S_{j}}) + \sum_{j = 1}^{k} (\frac{{\hat{β}}_{j}}{S_{j}}) x_{j}

$\hat Y = \left( \hat \beta_0 - \sum_{j=1}^k \hat \beta_j \frac{\bar x_j}{S_j} \right) + \sum_{j=1}^k \left(\frac{\hat \beta_j}{S_j}\right) x_j$

$\hat \beta_0 - \sum_{j=1}^k \hat \beta_j \frac{\bar x_j}{S_j}$ $j$ $\frac{\hat \beta_j}{S_j}$

У представленому випадку я припустив, що стандартизовані були лише прогнози. Якщо також стандартизувати змінну відповіді, перетворення коефіцієнтів коваріату назад у початкову шкалу здійснюється за допомогою формули з наведеної вами посилання. Ми маємо:

\frac{E [Y] - \hat{y}}{S_{y}} = β_{0} + \sum_{j = 1}^{k} β_{j} z_{j}

$\frac{\mathbb E[Y] - \hat y}{S_y} =\beta_{0}+\sum_{j=1}^{k}\beta_{j}z_{j}$

Здійснюючи регресію, отримуємо пристосоване рівняння регресії

{\hat{Y}}_{s c a l e d} = \frac{{\hat{Y}}_{u n s c a l e d} - \bar{y}}{S_{y}} = {\hat{β}}_{0} + \sum_{j = 1}^{k} {\hat{β}}_{j} (\frac{x_{j} - {\bar{x}}_{j}}{S_{j}}),

$\hat Y_{scaled} = \frac{\hat Y_{unscaled} - \bar y}{S_y} = \hat \beta_0 +\sum_{j=1}^{k} \hat \beta_{j}\left(\frac{x_j - \bar{x}_j}{S_j}\right),$

$S_y$ $y$

{\hat{Y}}_{u n s c a l e d} = {\hat{β}}_{0} S_{y} + \bar{y} + \sum_{j = 1}^{k} {\hat{β}}_{j} (\frac{S_{y}}{S_{j}}) (x_{j} - {\bar{x}}_{j}) .

$\hat Y_{unscaled} = \hat \beta_0 S_y + \bar y +\sum_{j=1}^{k} \hat \beta_{j}\left(\frac{S_y}{S_j}\right) (x_j - \bar{x}_j).$

$\hat \beta_0 S_y + \bar y - \sum_{j=1}^k \hat \beta_j \frac{S_y}{S_j}\bar x_j$ $S_y / S_j$

— Філіп Беркхардт
джерело