Інвертування перетворення Фур'є для розподілу Фішера

Характерною функцією розподілу Фішера є: де є злита гіпергеометрична функція . Я намагаюся вирішити зворотне перетворення Фур'є з -сверткі , щоб відновити щільність змінної , тобто: з метою отримання розподілу суми $\mathcal{F}(1,\alpha)$

С (т) = \frac{Γ (\frac{α + 1}{2}) U (\frac{1}{2}, 1 - \frac{α}{2}, - i т α)}{Γ (\frac{α}{2})}

$C(t)=\frac{\Gamma \left(\frac{\alpha +1}{2}\right) U\left(\frac{1}{2},1-\frac{\alpha }{2},-i t \alpha \right)}{\Gamma \left(\frac{\alpha }{2}\right)}$

U

$U$

F_{t, x}^{- 1}

$\mathcal {F} _ {t,x}^{-1}$

n

$n$

x

$x$

Ж_{т, х}^{- 1} (С (т)^{н})

$\mathcal {F} _ {t,x}^{-1} \left(C(t)^n\right)$

n

$n$ Випадкові величини, розподілені Фішером. Цікаво, чи хтось має якусь ідею, як це здається дуже важким для вирішення. Я спробував значення і безрезультатно. Примітка: за за згортанням я отримую pdf середнього (не суми):

α = 3

$\alpha=3$

n = 2

$n=2$

n = 2

$n=2$

\frac{3 (12 (х^{2} + 3) (5 х^{2} - 3) х^{2} + 9 (20 х^{4} + 27 х^{2} + 9) журнал (\frac{4 х^{2}}{3} + 1) + 2 \sqrt{3} (х^{2} + 15) (4 х^{2} + 3) х^{3} {засмага}^{- 1} (\frac{2 х}{\sqrt{3}}))}{π^{2} х^{3} {(х^{2} + 3)}^{3} (4 х^{2} + 3)}

$\frac{3 \left(12 \left(x^2+3\right) \left(5 x^2-3\right) x^2+9 \left(20 x^4+27 x^2+9\right) \log \left(\frac{4 x^2}{3}+1\right)+2 \sqrt{3} \left(x^2+15\right) \left(4 x^2+3\right) x^3 \tan ^{-1}\left(\frac{2 x}{\sqrt{3}}\right)\right)}{\pi ^2 x^3 \left(x^2+3\right)^3 \left(4 x^2+3\right)}$ ,

де - в середньому 2 змінні. Я знаю, що це непросто, але я хотів би отримати уявлення про наближення розподілу басейну. $x$

— Нерон
джерело

це питання живе?

— Brethlosze

Так, вона все ще відкрита.

— Нерон

Я припускаю, що ви знаходитесь під якимсь символічним пакетом, чи не так?

— Brethlosze

(?) По темі: mathoverflow.net/questions/184367 / ... jstor.org/stable/2287787?seq=1#page_scan_tab_contents sciencedirect.com/science/article/pii/016771529190098C

— Кьєтіл б Халворсеном

Для згортання F-статистики немає щільності закритої форми, тому спроба аналітично перевернути характеристичну функцію, ймовірно, не призведе до нічого корисного.

У математичній статистиці нахилене розширення Еджворта (також відоме як наближення сідлоподібної точки) є відомою і часто застосовуваною технікою наближення функції густини з огляду на характерну функцію. Наближення сідлової точки, якщо часто надзвичайно точне. Оле Барндорф-Нільсен та Девід Кокс написали підручник, в якому пояснили цю математичну техніку.

Є й інші способи підходу до проблеми без використання характерної функції. Можна очікувати, що розподіл згортки буде чимось на зразок розподілу F за формою. Можна спробувати наближення на зразок для -конволюції, а потім вибрати і щоб зробити перші два моменти розподілу правильними. Це легко, враховуючи відоме середнє значення та дисперсію F-розподілу. $aF(n,k)$ $n$ $a$ $k$

Якщо велика, то згортання сходиться до чіскера розподілу на ступенів свободи. Це еквівалентно вибору та у наведеному наближенні, показуючи, що просте наближення є точним для великих . $\alpha$ $n$ $a=n$ $k=\infty$ $\alpha$

— Гордон Сміт
джерело