Чи тотожні розподіли з однаковими моментами ідентичні

Наступні схожі, але відрізняються від попередніх публікацій тут і тут

Враховуючи два розподіли, які допускають моменти всіх порядків, якщо всі моменти двох розподілів однакові, то чи є вони однаковими розподілами ae?
Враховуючи два розподіли, які допускають функції, що генерують моменти, якщо вони мають однакові моменти, чи однакові їх функції, що генерують момент?

— Тім
джерело

Відповідно до питання №2, я вважаю, що загалом, якщо дві функції мають однаковий MGF (якщо він існує у відкритому сусідстві 0), то вони дотримуються однакового розподілу. На жаль, я не знаю доказів, оскільки він досить складний. Сподіваюся, що це допоможе трохи.

— nicefella

@nicefella Доказ відносно простий: оцінка MGF за уявними значеннями дає характеристичну функцію, яку можна перевернути для отримання розподілу. Інверсія працює за умови, що MGF є аналітичним у сусідньому районі.

— whuber

Дозвольте відповісти у зворотному порядку:

2. Так. Якщо їхні MGF існують, вони будуть однаковими *.

див. тут і тут, наприклад

Дійсно, це випливає з результату, який ви даєте на посаді, звідки випливає; якщо MGF однозначно визначає розподіл, і два дистрибутиви мають MGF, і вони мають однаковий розподіл, вони повинні мати той самий MGF (інакше ви маєте контрприклад до "MGFs однозначно визначає розподіли").

* для певних значень "той самий", завдяки цій фразі "майже скрізь"

** " майже скрізь "

Ні - оскільки існують контрприклади.

Кендалл і Стюарт перераховують сімейство безперервного розповсюдження (можливо, спочатку через Стілтелджеса або когось із цього винтажного, але мій спогад незрозумілий, минуло кілька десятиліть), які мають однакові моменти послідовності, але все ж різні.

У книзі Романо та Зігеля (Контрприклади у вірогідності та статистиці) перераховані зустрічні приклади в розділах 3.14 та 3.15 (стор. 48-49). (Насправді, дивлячись на них, я думаю, що обидва були в Кендалі та Стюарті.)

Романо, JP та Siegel, AF (1986),
контрприклади вірогідності та статистики.
Бока Ратон: Чапман і Хол / КПР.

За 3,15 вони приписують Feller, 1971, p227

Другий приклад стосується сімейства густин

f (х; α) = \frac{1}{24} досвід (- х^{1 / 4}) [1 - α гріх (х^{1 / 4})], х > 0; 0 < α < 1

$f(x;\alpha) = \frac{1}{24}\exp(-x^{1/4})[1-\alpha \sin(x^{1/4})], \quad x>0;\,0<\alpha<1$

$\alpha$

$f$

$\frac{1}{24}\exp(-x^{1/4}) -\alpha \frac{1}{24}\exp(-x^{1/4})\sin(x^{1/4})$

а потім показує, що друга частина вносить 0 у кожну мить, тому вони всі однакові як моменти першої частини.

$\alpha=0$ $\alpha=0.5$

приклад однакових моментів, різної щільності

Ще краще, мабуть, взяли набагато більший діапазон і застосували четверту кореневу шкалу на осі x, зробивши синю криву прямою, а зелену - як крива гріха над і під нею, щось подібне:

введіть тут опис зображення

Вигойдування над і під синьою кривою - будь то більшої чи меншої величини - виявляється, що всі позитивні цілі моменти не змінюються.

$X_1,X_2$ $\alpha$ $X_1$ $-X_2$

— Glen_b -Встановити Моніку
джерело

Спасибі! У вашій відповіді на моє друге запитання, що означає "для певних значень" те саме "? Чи можете ви надати контрприклади до мого першого запитання?

— Тім

Це просто посилання на необхідну кваліфікацію, викликану "майже скрізь", що є в попередньому питанні. Тож контрприклади могли дивитись на функції щільності, які були однакові майже скрізь, але відрізнялися за підрахунковим набором точок - я вже давав приклад вам раніше.

— Glen_b -Встановіть Моніку

На моє перше запитання (відповідно до вашої відповіді так, на моє друге питання та на моє запитання в попередньому дописі), чи всі контрприклади належать до того випадку, коли не обидва розподілу допускають функції, що генерують момент?

— Тім

Що це повинно бути таким, є наслідком твердження "Якщо mgf кінцевий у відкритому інтервалі, що містить нуль, то пов'язаний розподіл характеризується його моментами" у відповіді кардинала, на який я вважаю, що я пов'язаний. Якщо мгф не є кінцевим у цьому сенсі, це єдиний спосіб розподілу не характеризуватися його моментами.

— Glen_b -Встановіть Моніку

На перше запитання було відповідено на stats.stackexchange.com/questions/25010/… та на нещодавнє запитання ОП на stats.stackexchange.com/questions/84158/… . Приклад Феллера приписується Стілєтджесу (до часу Феллера) в Stuart & Ord.

— whuber