Чи існують середнє значення та дисперсія завжди для експоненціальних розподілів сім'ї?

Припустимо, скалярна випадкова величина належить до експоненціальної родини векторних параметрів з pdf $X$

f_{X} (x | θ) = h (x) \exp (\sum_{i = 1}^{s} η_{i} (θ) T_{i} (x) - A (θ))

$f_X(x|\boldsymbol \theta) = h(x) \exp\left(\sum_{i=1}^s \eta_i({\boldsymbol \theta}) T_i(x) - A({\boldsymbol \theta}) \right)$

де ${\boldsymbol \theta} = \left(\theta_1, \theta_2, \cdots, \theta_s \right )^T$ - вектор параметрів і $\mathbf{T}(x)= \left(T_1(x), T_2(x), \cdots,T_s(x) \right)^T$ - спільна достатня статистика.

Можна показати, що середнє значення та дисперсія для кожного $T_i(x)$ існують. Однак чи завжди існують середнє значення та дисперсія для $X$ (тобто $E(X)$ та $Var(X)$ )? Якщо ні, то чи є приклад експоненціального сімейного розподілу цієї форми, середня величина та змінна якої не існує?

Дякую.

— Вей
джерело

Беручи , , , а дає надається , виробляючи $s=1$ $h(x)=1$ $\eta_1(\theta)=\theta$ $T_1(x)=\log(|x|+1)$ $A(\theta)=\log\left(-2/(1+\theta)\right)$ $\theta \lt -1$

f_{X} (x | θ) = \exp (θ \log (| x | + 1) - \log (\frac{- 2}{1 + θ})) = - \frac{1 + θ}{2} (1 + | x |)^{θ} .

$f_X(x|\theta) = \exp\left(\theta\log(|x|+1) - \log\left(\frac{-2}{1+\theta}\right)\right) = -\frac{1+\theta}{2}(1+|x|)^\theta.$

Малюнок

Графіки показані для (синім, червоним та золотим відповідно). $f_X(\ |\theta)$ $\theta=-3/2, -2, -3$

Очевидно, що абсолютних моментів ваг або більше не існує, оскільки інтеграл , який асимптотично пропорційний , створить конвергентний інтеграл у межах тоді і лише тоді, коли . Зокрема, коли цей розподіл навіть не має середнього значення (і, звичайно, не дисперсії). $\alpha=-1-\theta$ $|x|^\alpha f_X(x|\theta)$ $|x|^{\alpha+\theta}$ $\pm\infty$ $\alpha+\theta\lt -1$ $-2 \le \theta \lt -1,$

— дзижчати
джерело

Я не розумію умови . Ви маєте на увазі ? Коли , не визначено, а є негативним і не може бути pdf, будь ласка, дайте мені знати, що я пропустив. Дякую.

θ < - 1

$\theta < -1$

θ > - 1

$\theta > -1$

θ < - 1

$\theta < -1$

A (θ)

$A(\theta)$

f_{X} (x | θ)

$f_X(x|\theta)$

— Вей

Я перепрошую, бо знак мінус був опущений в розрахунку . Я його замінив у формулах. Я дійсно маю на увазі .

A

$A$

θ < - 1

$\theta\lt -1$

— качан

Дякую за приклад. Я згоден щодо моментів. Як щодо самих моментів ? Наприклад, коли у вашому прикладі вище, чи існує ?

| x |

$|x|$

x

$x$

- 2 < θ < - 1

$-2<\theta <-1$

E (x)

$E(x)$

— Вей

Оскільки інтеграл Лебега визначається з позитивної та негативної частин інтегралу, моменти існують тоді і лише тоді, коли моментиіснують.

x

$x$

| x |

$|x|$

— whuber

@Wei: існує лише якщо . Без цього обмеження очікування не є однозначно визначеним для деяких CDF.

E {g (X)}

$\mathrm{E}\{g(X)\}$

E {| g (X) |} < \infty

$\mathrm{E}\{\, \left| g(X)\, \right| \} < \infty$

— Денніс