Чи можу я мати "залежний тип копродукту"?

14

Я читаю книгу HoTT, і у мене є (мабуть, дуже наївне) питання про речі в першій главі.

У цій главі представлено тип функції а потім узагальнено, зробивши залежним від

f : A \to B

$f:A\to B$

B

$B$

x : A

$x:A$

і називаєтьсязалежним типом функції.

B : A \to U, g : \prod_{x : A} B (x)

$B:A\to\mathcal{U},\qquad g:\prod_{x:A}B(x)$

Переходячи до цього розділу, тоді вводиться тип продукту а потім узагальнюється, роблячи залежним від

f : A \times B

$f:A\times B$

B

$B$

x : A

$x:A$

і називаєтьсязалежним типом пари.

B : A \to U, g : \sum_{x : A} B (x)

$B:A\to\mathcal{U},\qquad g:\sum_{x:A}B(x)$

Тут я точно можу побачити викрійку.

Переходячи до цього розділу, далі вводиться тип спільного продукту і ... комбі-прорив ... немає обговорення залежної версії цього типу.

f : A + B

$f:A+B$

Чи є якесь фундаментальне обмеження щодо цього чи це просто не має значення для теми книги? У будь-якому випадку хтось може допомогти мені з інтуїцією щодо того, чому функціонують та типи продуктів? Що робить цих двох настільки особливими, що їх можна узагальнити до залежних типів, а потім використати для створення всього іншого?

type-theory dependent-types homotopy-type-theory

— Костя
джерело

18

$A \times B$ $A + B$ $A \times B$

$A$ $B$ $P : \mathtt{bool} \to \mathcal{U}$ $P(\mathtt{false}) = A$ $P(\mathtt{true}) = B$ $\sum_{b : \mathtt{bool}} P(b)$ $A + B$ $A \times B$ $\prod_{b : \mathtt{bool}} P(b)$

$\sum$ $\prod$ $\exists$ $\forall$ $\exists$ $\forall$ $\sum$ $\prod$

— Андрій Бауер
джерело

\sum

$\sum$

\prod

$\prod$

A

$A$

1

Я розповім про це ще програмно-інженерне забезпечення.

Ви говорите про тип копродукту, чиї останні конструктори можуть посилатися на попередні (що, схоже, на продукт, чиї останні поля можуть стосуватися попередніх)? Це можливо в Agda після введення HIT (у версії 2.6.0):

-- Auxiliary definition: Nat
data Nat : Set where
  zero : Nat
  succ : Nat -> Nat

-- The HIT I was talking about
data Int : Set where
  positive : Nat -> Int
  negative : Nat -> Int
  -- Note this constructor uses `positive` and `negative`.
  zeroPath : positive zero ≡ negative zero

Дотримуючись цього документу , якщо ваша перевірка типу перевіряє визначення, визначені за допомогою синтаксису, представленого на рисунку "(26)", я вважаю, що досить просто підтримувати "залежні копродукти".

— лід1000
джерело