Що ми отримуємо, маючи “залежні типи”?

Я подумав, що я правильно зрозумів залежне введення тексту (DT), але відповідь на це питання: /cstheory/30651/why-was-there-a-need-for-martin-l%C3% Інтуїтивістська теорія типу B6f для створення створювала думки про інше.

Прочитавши DT і намагаючись зрозуміти, що вони є, я намагаюся задатися питанням, що ми отримуємо від цього поняття DT? Вони здаються більш гнучкими та потужними, ніж просто набране лямбда-числення (STLC), хоча я не можу зрозуміти "як / чому" саме.

Що ми можемо зробити з DT, які неможливо зробити за допомогою STLC? Схоже, додавання DT робить цю теорію складнішою, але яка користь?

З відповіді на вищезазначене питання:

Залежні типи були запропоновані де Бруїном та Говардом, які хотіли поширити листування Кері-Говарда від логіки пропозицій до логіки першого порядку.

Здається, це має сенс на якомусь рівні, але я все ще не в змозі зрозуміти велику картину "як / чому"? Можливо, на прикладі явно показано, що таке розширення відповідності СН до логіки FO могло б допомогти досягти точки зору в розумінні, в чому полягає велика справа з DT? Я не впевнений, що розумію це так добре, як і повинен.

logic type-theory intuition

— Кандидат наук
джерело

Ви їх гуглили? Ви чули про Coq, доказ теореми, побудований на залежних типах? Чи знали ви, що теорема про 4 кольори доведена за допомогою Coq?

— Дейв Кларк

Я насправді. Що важко для Google, у чому полягає додаткова «сила» (за відсутністю кращого слова), яку ДТ надають для теоретичного типу, інтуїтивно кажучи?

— Кандидат наук

Чому? Залежні типи дозволяють набирати більше програм, зберігаючи типи безпеки. Як? Шляхом параметризації типів з програмами.

— Мартін Бергер

@MartinBerger - Чи можете ви, будь ласка, детальніше розглянути "більше програм"? Що "більше" я можу зробити чи потрібно з теоретичної точки зору?

— Кандидат наук

@DaveClarke Те, що Кок, з його фантазійними типами, використовувався для створення фантазійних речей, не означає, що для цих фантазійних речей потрібні ці вигадливі типи. Наприклад, Twelf мав великі успіхи (наприклад, доказ коректності SML), і це лише другого порядку, а не вищого рівня. Я бачив деякі досить великі системи, перевірені лише логікою першого порядку.

— Жиль "ТАК - перестань бути злим"

Відповіді:

Розширення мого коментаря: залежні типи можуть набирати більше програм. "Більше" просто означає, що набір програм, які можна набрати з залежними типами, є належним набором програм, які можна набрати в просто набраному рахунку (STLC). Прикладом можуть бути , списки довжиною , що містять елементи типу . Вираз є водночас програмою і частиною типу. У STLC це зробити не можна. $\lambda$ $List_{2*3+4}(\alpha)$ $10$ $\alpha$ $2*3+4$

Основним правилом, що відрізняє залежні від незалежних типів, є застосування:

\frac{Γ ⊢ M : A \to B Γ ⊢ N : A}{Γ ⊢ M N : B} \frac{Γ ⊢ M : Π x^{A} . B Γ ⊢ N : A}{Γ ⊢ M N : B {N / x}}

$\newcommand{\TYPES}[3]{#1 \vdash #2 : #3} \newcommand{\SUBST}[2]{\{#1/#2\}} \frac{ \TYPES{\Gamma}{\color{red}{M}}{A \rightarrow B} \qquad \TYPES{\Gamma}{\color{red}{N}}{A} }{ \TYPES{\Gamma}{\color{red}{MN}}{B} } \qquad \frac{ \TYPES{\Gamma}{{\color{red}M}}{\Pi x^A. B} \qquad \TYPES{\Gamma}{\color{red}{N}}{A} }{ \TYPES{\Gamma}{{\color{red}{MN}}}{B\SUBST{{\color{red}N}}{x}} }$

Зліва у вас є STLC, де програми в приміщенні 'вливаються' лише в програму висновку. На відміну від цього, у залежному правилі програми праворуч програма з правої передумови 'перетікає' у тип у висновку . $N$ $^1$

Для того, щоб можна було параметризувати типи за програмами, синтаксис залежних типів повинен бути багатшим, а для того, щоб типи були добре сформовані, ми використовуємо другу "систему набору тексту", що називається типами, що обмежує типи. Ця система організації по суті є STLC, але "на один рівень вище".

Існує багато пояснень залежних типів. Деякі приклади.

Залежні типи на роботі , Бове та Діб'єр.
Залежні типи Аспінелла та Гофмана.
Залежно набране програмування в Агді , Нореллом і Чапманом.
Ламбда-калькулі з видами , Барендрегт.

$^1$ ^{З точки зору кольорів: при незалежних типах чорні вирази у висновку будуються з чорних виразів у приміщеннях, тоді як червоні вирази у висновку будуються з червоних виразів у приміщеннях. Залежно від типів кольори можна змішувати, якщо чорні частини висновку будуються з червоної та чорної частин приміщення.}

— Мартін Бергер
джерело

Тепер це має багато сенсу. Можливо, це було очевидно, але я чомусь не міг покласти пальця на це. Оцініть перехід від коментаря до відповіді. На жаль, питання було проголосовано за закриття, але я радий за відповідь :)

— Кандидат наук

Я не божевільний за вашим прикладом, оскільки довжина списку - це лише те, що ви можете стерти з типів і отримати програми, що говорять про звичайні (неіндексовані) списки. Можливо, буде корисно зауважити, що є типи, які не залишаються добре набраними після такого стирання, наприклад, програма типу , де і .

A r r n

$\mathrm{Arr}\ n$

A r r 0 = n a t

$\mathrm{Arr}\ 0 = \mathrm{nat}$

A r r (n + 1) = n a t \to A r r n

$\mathrm{Arr}\ (n+1) = \mathrm{nat}\rightarrow\mathrm{Arr}\ n$

— коді

@cody Я не впевнений, що ти маєш на увазі. Залежні типи мають (або можуть бути налаштовані мати) стирання типу у такому значенні: для всіх типів P: iff , де - відношення скорочення часу виконання. . (Це спрощений опис, коли функція стирає карти програм із приміткою типу "ті ж" програми без анотації.) Можливо, ви маєте на увазі щось інше?

P ⇓ V

$P\Downarrow V$

e r a s e (P) ⇓ e r a s e (V)

$erase(P)\Downarrow erase(V)$

⇓

$\Downarrow$

— Мартін Бергер

@MartinBerger: так, у цьому випадку я говорю про стирання залежностей у залежних типах, щоб отримати прості типи. Єдиний приклад, на який я можу зараз вказати, - це доказ того, що нормалізує нормалізацію iff (наприклад, у книзі Барендрегта ).

F_{ω}

$F_\omega$

C o C

$\mathrm{CoC}$

— Коді

@cody Я думаю, що це незвично називати стиранням цього типу. Яке краще ім’я? Може бути спрощення типу?

— Мартін Бергер

Подумай про декларації типу, як не що інше, як твердження. Наразі все, що ви можете сказати, - це такі речі, як isInt32 (), isCharPtr () тощо. Ці різні твердження вибрано для перевірки під час компіляції. Але цю концепцію можна розширити на такі речі: isCharPtr () && isNotNull (). Нульові покажчики - величезна проблема. Покажчики не повинні бути нульовими як позиція за замовчуванням, при цьому нульові покажчики є типом, який не може бути відкидним, не знаючи, чи він є нульовим чи ні. Подібні проблеми є такими, як: isPositiveInteger (), або isEvenNaturalNumber ().

— Роб
джерело